第10讲 讲二次函数与一元二次方程概述适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域北师版区域课时时长（分钟）120知识点1. 二次函数与一元二次方程2. 二次函数与不等式3. 二次函数与方程和不等式综合教学目标1.掌握二次函数与一元二次方程的联系2.掌握二次函数与不等式的联系3.掌握利用函数图像解决实际问题教学重点能熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系教学难点能熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系【教学建议】本节课的内容在二次函数中占有着重要的地位，也是中考中的必考内容。函数是方程和不等式的高级形式，借助图象，可以用函数的观点去统领一元二次方程和一元二次不等式，在实际问题中有着重要的应用。在教学中要让学生充分体会到处理函数问题的方法：“胸中有图，见数想图”。学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：1. 二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根；2. 由图象判别函数值的情况。3.对的不同理解方式。【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函数是方程和不等式的高级形式，本节课主要是用函数的观点去统领对应的一元二次方程和一元二次不等式，可以全面考察学生的读图识图能力，在中考数学试卷中，也是必考题，一般不单独设题，常与其它知识融合在一起考。二、知识讲解知识点1 二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系.（1） 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0 时，相应的自变量的值即是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；（2）若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别为()，那么对应方程 ax2+bx+c=0的两个根即为 ，结合一元二次方程根与系数关系可知（3）二次函数与x轴的交点情况和一元二次方程根的情况的关系具体见下表：二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点情况a0两个交点一个交点没有交点a0两个交点一个交点没有交点的值一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况有两个不相等的实根有两个相等的实根没有实根知识点2 二次函数与不等式二次函数与一元二次不等式解集的关系（1）从“形”的方面看二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为ax2+bx+c0的解集，在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为ax2+bx+c0的解集；从“数”的方面看，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为不等式ax2+bx+c0的解集，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为不等式ax2+bx+c0b2-4ac=0b2-4acy2，求实数n的取值范围。例题3【题干】二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)方程ax2+bx+c=0的两个根是 ；(2)不等式ax2+bx+c0的解集是 ；(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 。(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例题4【题干】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx22(k1)xk2k（k为常数）（1）若抛物线经过点(1，k2)，求k的值（2）若抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，且y1y2，求k的取值范围（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1x2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值四 、课堂运用【教学建议】在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在用二次函数的观点去看对应的一元二次方程和一元二次不等式，教师在教学中，先把例题讲解清晰，帮助学生形成相应的知识结构图；再给学生做针对性的练习，抓住它们三者之间的内在逻辑联系。基础1.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图像与直线 交点的 坐标。2.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=x2+1Ox.(1)经过多长时间，炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少?(2)经过多长时间，炮弹落在地上爆炸?3.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。”请根据你对这句话的理解,解决下面问题：若m、n(mn)是关于x的方程1(xa)(xb)=0的两根,且ab,则a、b、m、n的大小关系是（）A.mabnB.amnbC.ambnD.manb巩固1.当m取何值时，抛物线y=x2与直线y=xm（1）有公共点；（2）没有公共点2.已知关于x的方程x2(2k3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求k的取值范围；(2)试说明x10，x20.解：设y=x22x3，则y是x的二次函数.a=10，抛物线开口向上。又当y=0时,x22x3=0,解得x1=1,x2=3.由此得抛物线y=x22x3的大致图象如图所示。观察函数图象可知：当x3时，y0.x22x30的解集是：x3.(1)观察图象,直接写出一元二次不等式：x22x30.(大致图象画在答题卡上)课堂小结回忆以下三个方面的知识：1.二次函数与一元二次方程2.二次函数与不等式3.二次函数与方程和不等式综合拓展延伸基础1. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标(1,3.2)及部分图象(如图)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=( )A.1.3B.2.3C.0.3D.3.32. 如图，以（1，-4）为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（）A2x3B3x4C4x5D5x63.已知二次函数y2(x1)(xm3)(m为常数)（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？巩固1. 已知二次函数yx22xm的图象C1与x轴有且只有一个公共点。（1） 求C1的顶点坐标；（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（3，0），求C2函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点的坐标2.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，对称轴为直线x1，则下列结论正确的是（ ）A. ac0 B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3 C. 2a-b=0 D.当y0时，y随x的增大而减小.3.阅读材料，解答问题利用图象法解一元二次不等式：x2+2x-30解：设y=x2+2x-3，则y是x的二次函数a=10，抛物线开口向上又当y=0时，x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3由此得抛物线y=x2+2x-3的大致图象如图所示观察函数图象可知：当-3x1时，y0x2+2x-30的解集是：-3x1时（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2+2x-30的解集（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：-2x2-4x+60（3）不等式2x2-4x+60有解吗？若有，求出其解集；若没有请结合图象说明理由拔高1.已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且（1）求，两点坐标；（2）求抛物线表达式及点坐标；（3）在抛物线上是否存在着点，使面