第八章圆锥曲线方程二双曲线8.4.1双曲线的简单几何性质（一）教学目标（一）教学知识点双曲线的范围、对称性（对称轴、对称中心）、顶点（截距）、实轴、虚轴的概念及双曲线的渐近线与离心率.（二）能力训练要求1使学生理解并掌握双曲线的范围.2使学生理解并掌握双曲线的对称性，明确标准方程所表示的双曲线的对称轴、对称中心.3使学生理解双曲线的渐近线的定义，掌握双曲线渐近线的方程，并能利用双曲线的渐近线较准确地画出双曲线的草图.4使学生掌握离心率的定义及其几何意义.（三）德育渗透目标使学生充分认识数与形的有机联系，数与形的辩证统一.教学重点双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.教学难点双曲线的渐近线.教学方法指导学生自学法.双曲线的几何性质讨论的内容，除渐近线外，与椭圆的几何性质类同，对椭圆的几何性质及其研究方法，学生已经初步掌握，在教师的指导下，自学双曲线的几何性质不会有什么问题，同时通过学生的自学及其亲身实践与体验，对于他们掌握双曲线的几何特征及问题的研究方法，能起到加深印象与理解的作用，达到突破难点、巩固所学知识的目的.教具准备幻灯片一张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作8. 4. 1A）多媒体课件一个：先作出中心在原点、焦点在x轴上的双曲线，其次，随着内容的讨论至顶点时，标出A1、A2、B1、B2点，第三，讨论到实轴、虚轴概念时，让线段A1A2、B1B2闪动，第四，到渐近线时，按要求作出矩形，作出对角线，并随着x的增大（缩小）延长渐近线、双曲线，让学生观察曲线逐步接近直线.教学过程课题导入师前面我们学习了椭圆的简单性质：范围、对称性、顶点、离心率，请同学们回忆一下椭圆（ab0）几何性质的具体内容及其研究方法.生椭圆的范围是|x|a，|y|b.（教师板书）师讨论方法是什么？生因两个非负数的和等于1，那么由方程可知：每一个不大于1，即小于或等于1，据此得到椭圆的范围.师请接着谈一下其他性质.生对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称，原点是椭圆的中心.顶点：椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点，其顶点坐标是（a，0），（0，b）.离心率：（学生回答，教师板书）师在椭圆顶点的研究中，我们给出了长轴、短轴的概念，明确了长轴长、短轴长，以及a、b、c的几何意义，谁来补充一下？生椭圆在同一条对称轴上的两个顶点间的线段，较长的是椭圆的长轴，较短的是椭圆的短轴，长轴长是2a，短轴长是2b，a是长半轴的长，b是短半轴的长，c是半焦距.师很好！离心率对椭圆的扁圆情况有怎样的影响呢？生0e1，当e越接近1时，c越接近于a，b越小，椭圆就越扁；当e越接近于0时，c越小，b越接近于a，椭圆就越接近于圆.师好!椭圆的对称性、离心率、顶点三种性质的讨论方法是什么呢？生讨论椭圆的对称性时，用y代y，方程不变，则椭圆关于x轴对称；用x代x，方程不变，则椭圆关于y轴对称；同时用y代y，x代x，方程不变，则椭圆关于原点对称.讨论离心率时，由离心率的定义，得到了离心率的范围.讨论顶点时，由顶点的定义及椭圆的对称轴是坐标轴，令x0，得顶点的纵坐标，令y0得顶点的横坐标，据此可写出顶点的坐标.师很好！同学们对椭圆的简单几何性质，掌握得基本熟练.下面，我们用类比的方法来研究双曲线的简单几何性质.（板书课题）讲授新课师上节课下课时，老师请同学们依照研究椭圆的简单几何性质的方法和步骤去试推双曲线的简单几何性质，完成了这个作业的同学请举手.生举手.师好！请放下.哪位同学对照椭圆的简单几何性质的顺序，来谈一下双曲线（a0，b0）的几何性质，并谈谈这个性质的讨论方法.生甲范围：|x|a，即xa，xa.讨论方法是由标准方程可知，由此推得x的范围.y除受到式子本身的制约外，没有任何限制，说明双曲线位于xa与xa的区域内.师好，请另一位同学接着说.生乙对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.讨论方法是以y代y，方程不变，所以双曲线关于x轴对称；以x代x，方程不变，所以双曲线关于y轴对称；同时以y代y，以x代x，方程不变，所以双曲线关于原点对称.生丙顶点：只有两个，即（a，0）.讨论方法是令y0，得xa，因此双曲线和它的一条对称轴x轴有两个交点A1（a，0）、A2（a，0），所以双曲线的顶点是（a，0）.令x0时，解得y2b2，无实数解，说明双曲线与它的另一条对称轴y轴没有交点，故双曲线顶点只有两个.师请注意：双曲线（a0，b0）与y轴没有交点，但我们也把B1（0，b）、B2（0，b）画在y轴上.（打出多媒体课件）线段A1A2叫做双曲线的实轴，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a，虚轴的长为2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，焦点始终在实轴上.下面，请一位同学来谈一下离心率.生丁双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率. 且e（1，），这是因为ca0.师离心率对双曲线张口的大小有什么影响？为搞清这个问题，我们先来看双曲线特有的另外一个性质渐近线.经过A2、A1作y轴的平行线xa，经过B2，B1作x轴的平行线yb，这四条直线围成一个矩形（打出多媒体课件），矩形的两条对角线所在直线的方程是（教师可拉长语气，等待学生作答）y，从图中可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.我们观察到的这个结论可靠不可靠呢？下面，我们来进行证明.先取双曲线在第一象限的部分进行证明，这一部分的方程可写成设M（x，y）是它上面的点，N（x，Y）是直线上与M有相同横坐标的点，则设MQ是点M到直线的距离，则MQMN.当x逐渐增大时，MN逐渐减小，x无限增大，MN接近于0，MQ也接近于0，就是说，双曲线在第一象限部分从射线ON的下方逐渐接近于ON.在其他象限内，也可以证明类似的情况.我们把两条直线y叫做双曲线的渐近线.在方程中，如果ab，那么双曲线的方程为x2y2a2，它的实轴和虚轴的长都等于2a，这时四条直线xa，ya围成正方形，渐近线方程为yx，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图，具体做法：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后再过这两个点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后根据双曲线的对称性画出完整的双曲线.有了双曲线的渐近线，我们再来讨论离心率对双曲线张口大小的影响，就方便了.由等式c2a2b2可得由上式可以看出，e越大，也越大，即渐近线yx的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越大.例题分析例1求双曲线9y216x2144的实半轴长是多少？虚半轴长呢？焦点坐标、离心率、渐近线方程各是什么？师要解决这个问题，首先需要怎样做？生将所给的方程化成标准方程.师好，下面请同学们完成此题.（学生在下面做，请一位同学在黑板上板书）（教师在巡视时可提出问题：化成标准方程后，可以看出焦点在哪个轴上呢？或者双曲线的实轴在哪个坐标轴上？写出焦点坐标、渐近线方程时一定要注意）（学生解答之后，教师讲解，也许渐近线方程会出错，要告诉学生怎样正确地写出渐近线方程）师根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：1画出以实轴长、虚轴长为邻边的距形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜率的确定.2将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即得双曲线的渐近线方程，再据此推出ykx的形式.另外需要注意的是：若已知双曲线的标准方程则可以写出其渐近线方程，但若已知双曲线的渐近线方程，则不能仅据此确定a、b的值，只能确定a、b的关系，这点与离心率是类同的.课堂练习课本P113练习1、5.1求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程：（1）x28y232；（2）9x2y281；（3）x2y24；（4）答案：（1）2a8，2b4；顶点坐标为（4，0），（4，0）；焦点坐标为（6，0），（6，0）；渐近线方程为（2）2a6，2b18；顶点坐标为（3，0），（3，0）；焦点坐标为（3，0），（3，0）；e；渐近线方程为y3x.（3）2a4，2b4；顶点坐标是（0，2），（0，2）；焦点坐标为（0，2），（0，2）；离心率e；渐近线方程为xy.（4）2a10，2b14；顶点坐标是（0，5），（0，5）；焦点坐标为（0，），（0，）；离心率e5当渐近线的方程为yx时，双曲线的标准方程一定是吗？如果不一定，举出一个反例.答案：不一定是.反例：双曲线课时小结本节课我们讨论了双曲线的简单几何性质、范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.为了加深理解和掌握，大家可以与椭圆对照，比较异同点，准确把握，同时，请同学们写出焦点在y轴上的标准方程表示的双曲线的范围、对称性、顶点、实半轴长、虚半轴长、离心率、渐近线方程.课后作业（一）课本P113习题8. 41、5、6.（二）1预习内容：课本P111例2、例3.2预习提纲：（1）解有实际意义的题目关键是什么？（2）不清楚双曲线焦点位置时，其标准方程有几种形式？是怎样的？（3）双曲线的比值定义是什么？（4）怎样的直线叫做双曲线的准线？（5）对于确定的双曲线，它有几条准线？（6）中心在原点、焦点在y轴上的双曲线，它的准线方程是怎样的？板书设计8. 4. 1双曲线的简单几何性质（一）椭圆的标准方程（ab0）范围对称性顶点离心率双曲线的标准方程（a0，b0）范围对称性顶点离心率渐近线例1练习小结备课资料一、双曲线的几何性质的学习对双曲线性质的讨论是我们又一次用曲线方程研究曲线性质的方法的学习，因此，在教学中，应尽力注意让学生对这种方法从思想上有一定的认识，并逐渐形成一种应用意识.1 问题：讲解双曲线的渐近线时，应注意些什么？答：（1）使学生明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线，画双曲线时，应先画出它的渐近线.（2）使学生理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0.（3）使学生掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的求法.最简单且实用的方法是：把双曲线方程中等号右边为1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.（4）使学生掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的求法.简单且实用的方法是：如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程为（AxBy）(AxBy)m，这里m是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定.2双曲线几何性质的简单应用.例1求与双曲线共渐近线且过A（2，3）点的双曲线方