第29讲 容斥问题学习目标 l 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容l 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用知识梳理 一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积1先包含重叠部分计算了次，多加了次；2再排除把多加了次的重叠部分减去 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数)二、三量重叠问题类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元素个数用符号表示为：图示如下：1先包含：重叠部分、重叠了次，多加了次2再排除：重叠部分重叠了次，但是在进行 计算时都被减掉了3再包含：图中小圆表示的元素的个数，中圆表示的元素的个数，大圆表示的元素的个数在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考典例分析考点一：两量重叠问题例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人两个小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？例2、对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人两项都会的有人，两项都不会的有人这个班一共有多少人？例3、在人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有人，既采了樱桃又采了杏的有人，既没采樱桃又没采杏的有人，问：只采了杏的有多少人？例4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？考点二：三量重叠问题例1、全班有个学生，其中人会骑自行车，人会游泳，人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有个人数学不及格，那么，（1） 数学成绩优秀的有几个学生？（2）有几个人既会游泳，又会滑冰？考点三：图形中的重叠问题例1、把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？例2、两张长厘米，宽厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？例3、三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是平方厘米三个纸片盖住桌面的总面积是厘米问：图中阴影部分面积之和是多少？考点四：容斥原理在数论问题中的应用例1、在的全部自然数中，不是的倍数也不是的倍数的数有多少个？考点五：容斥原理中的最值问题例1、将113这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？实战演练 课堂狙击1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？4、在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？ 课后反击1、芳草地小学四年级有人学钢琴，人学画画，人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？2、科技活动小组有人在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有人，制作好一艘舰艇的同学有人每个同学都至少完成了一项制作问两项制作都完成的同学有多少人？3、五年级一班共有人，每人参加一个兴趣小组，共有、五个小组，若参加组的有人，参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同，参加组的人数最少，只有人那么，参加组的有_人4、如下图，一张长厘米，宽厘米，另一个正方形边长为厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为厘米的正方形，求这个组合图形的面积5、甲、乙、丙同时给100盆花浇水已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?直击赛场 1、有位旅客，其中有人既不懂英语又不懂俄语，有人懂英语，人懂俄语问既懂英语又懂俄语的有多少人？ 名师点拨 容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是