2013年高考数学专项训练 即时定义和创新问题1计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母AF共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则AB=A6E B72 C5F DB02用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为Acm2 Bcm2 Ccm2 D20 cm23右图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆数如图所示，图中 分别表示该时段单位时间通过路段,的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则AB C 4对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则A B C D5对于直角坐标平面内的任意两点A(x， y)、B(x，y)，定义：AB=x2x1+y2y1.给出下列三个命题：若点C在线段AB上，则AC+CB=AB;在ABC中，若C=90，则AC+CB=AB；在ABC中，AC+CBAB.其中真命题的个数为A0 B1 C2 D36平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”已知常数0，0，给出下列命题：若0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若0，且0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；若0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 A0 B1 C2 D37已各符号函数，则不等式的解集为 8若一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 。 9定义非空集合A的真子集的真子集为其“孙集”，则集合2，3，4，5，6的“孙集”的个数为 10若内的函数满足：对任意，都有，则称是凸函数。给出以下函数，。其中是凸函数的为 （把所有正确结论序号都填上）11在数列中，若 a1，a2 是正整数，且,3，4，5，则称 为“绝对差数列”. （）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （）若“绝对差数列”中，,，数列满足 ,n=1，2，3，分虽判断当时, 与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.12若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，不平行于y轴的弦AB的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x02.（1）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(2) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.2013年高考数学专项训练（05）即时定义和创新问题1计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母AF共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则AB=A.6E B.72 C.5F D.B0解析： 我们用符号x (10) ，y (16) 分别表示10进制和16进制中的数. 依题意，有16(10)=10(16) 则有AB=1011(10) =110(10)=616+14(10)=610+E(16) =6E.答案为A.评注： 情境新颖有三：（1）数符新颖，除熟悉的0，1，9这10个数字之外，还有新数字A、B、C、D、E、F. （2）数制新颖，16进制. （3）数意新颖，16进制中的数11，如果说个位数上的1与10进制中的1“数意”相同的话，那么十位数上的1则是另外一种“数意”了；自然，F1这个数在10进制中已经不是两位数了.2 用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为Acm2 Bcm2 Ccm2 D20 cm2解析： 按照我们所普遍了解的事实，调整3个边尽可能的相等：7，7，6此时三角形面积为：. 选B.评注： 在周长一定的n边形中，正n边形面积最大.当n = 3时，这个普遍了解的事实可以用椭圆的知识这样来感性地解释：设三角形ABC的周长l为定值，角A、B、C分别对应三边a、b、c.先固定B、C两点，则b + c 是定值，这意味这点A在B、C为焦点的椭圆上（去除俩长轴端点），当A为椭圆的短轴端点时，A到线段BC的距离最远，此时ABC为等腰三角形，满足b = c. 假若，我们再固定A、C两点，再次调整点B的位置.由 我们知道，时，ABC面积最大.所以： ，即（a，b）.或者换句话说，在数轴上，点对应的点被a、b分别对应的两个点“夹逼”着.无论是用代数语言还是几何语言，我们都能得到结论：再次调整后.只要类似于、 的调整我们可以一直进行，每进行一次，三角形的三边就“接近一次”，直到三边长最接近.最接近的情况当然是正三角形.三、开放探究型“开放”相对于“封闭”而言。传统数学题目多属封闭型。如一种明确的条件，一种确定的结论，甚至连解答过程和方法都是确定的。开放题与此相异。有的有明确的条件而无明确的结论，甚至连结果存在与否还不知道，有的有明确结论而无明确的条件，甚至连条件是否存在还不知道。3右图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆数如图所示，图中 分别表示该时段单位时间通过路段,的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则AB C 解析： 依题意，有x150x355x35，x1x3，同理，x230x120x110x1x2，同理，x330x235x25x3AB.其中真命题的个数为A.0 B.1 C.2 D.3解析：B 对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则在中，=命题 成立，而命题在中，若则 明显不成立，选B.评注： 及时定义：平面内任意两点间的距离是数轴上两点间距离的推广，由一维推向了二维，递进式定义法. 对于是我们所熟悉的坐标上的点.而中运用绝对值不等式就可以判断.OM（ ， ）6如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”已知常数0，0，给出下列命题：若0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若0，且0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；若0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 （ ）A0 B1 C2 D3解：选 正确，此点为点； 正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）； 正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点；7定义符号函数，不等式的解集为 解析：时，是恒成立的；当或时解得或，所以解集为。8如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 解析：若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”； “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，填48 。 9定义非空集合A的真子集的真子集为其“孙集”，则集合2，3，4，5，6的“孙集”的个数为 。解析： 填：26 10如果内的函数如果满足：任意，都有，则称是凸函数。给出以下函数，。其中是凸函数的为 11在数列中，若 a1，a2 是正整数，且,3，4，5，则称 为“绝对差数列”. （）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （）若“绝对差数列”中，,，数列满足 ,n=1，2，3，分虽判断当时, 与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.解析：（）解：,（答案不惟一） （）解：因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是