第5讲数学归纳法考点梳理1对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当nk(kN*，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若P(n0)成立(奠基)，假设P(k)成立(kn0)，可以推出P(k1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立【助学微博】一个命题趋势预计在2014年高考中，数学归纳法可能会与数列、不等式等内容相结合考查与数列相结合的题目，一般会采取“归纳猜想证明”的命题思路，以解答题的形式出现，难度较大，为中高档题考点自测1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0 等于_解析边数最少的凸n边形是三角形答案32利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN*)的过程，由nk到nk1时，左边增加了_项解析11，共增加了2k项答案2k3用数学归纳法证明：“1aa2an1(a1)”在验证n1时，左端计算所得的项为_答案1aa24某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得下列成立的说法是_n6时该命题不成立；n6时该命题成立；n4时该命题不成立；n4时该命题成立解析法一由nk(kN*)成立，可推得当nk1时该命题也成立因而若n4成立，必有n5成立现知n5不成立，所以n4一定不成立法二其逆否命题“若当nk1时该命题不成立，则当nk时也不成立”为真，故“n5时不成立”“n4时不成立”答案5用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_解析不等式的左边增加的式子是，故填.答案考向一数学归纳法的原理【例1】 (2010南通高三二模)设数列an满足a1a，an1aa1，MaR|nN*，|an|2(1)当a(，2)时，求证：aM；(2)当a时，求证：aM；(3)当a时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论证明(1)当a2，所以aM.(2)当0a时，|an|(n1)事实上，当n1时，|a1|a|.设nk1时成立(k2为某整数)，则对nk，|ak|ak1|2a2.由归纳假设，对任意nN *，|an|时，aM，证明如下：对于任意n1，ana，且an1aa.对于任意n1，an1anaana2aa，则an1ana.所以an1aan1a1n.当n时，an1na2aa2，即an12，因此aM.方法总结 数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，证明nk1成立时，必须用nk成立的结论用数学归纳法证题的过程可以总结为“两个步骤一个结论”用数学归纳法证明等式时其过程也是“两个步骤一个结论”【训练1】 (2011南通调研)用数学归纳法证明：123234n(n1)(n2).(nN*)证明(1)当n1时，左边1236，右边6左边，所以等式成立(2)设当nk(kN*)时，等式成立，即123234k(k1)(k2).则当nk1时，左边123234k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)所以nk1时，等式成立由(1)(2)可知，原等式对于任意的nN*成立考向二数学归纳法的应用【例2】 (2010江苏卷)已知ABC的三边是有理数(1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数(nN*)证明(1)设ABC角A，B，C的对边为a，b，c，则a，b，cQ，cos A为有理数(2)用数学归纳法证明cos nA与sin Asin nA是有理数当n1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin Asin A1cos2A也是有理数假设当nk(k1)时，cos kA和sin Asin kA都是有理数当nk1时，由cos(k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin(k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)，(sin Asin A)cos kA(sin Asin kA)cos A，及和归纳假设，知cos(k1)A与sin Asin(k1)A都是有理数，即当nk1时，结论成立综合可知，对任意正整数n，cos nA是有理数方法总结 数学归纳法适用于证明与正整数有关命题的一种常见方法常用数学归纳法可以证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与求和等证明过程可以用综合法，也可以用分析法或其他方法用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有：放缩法；基本不等式法；作差比较法等【训练2】 (2012江苏南通一模)已知数列an满足：a11，aa(n2)，ann.求证：4(n1)1.证明由题得aa，即aa，于是有aaa1.要证明4(n1)1，只需证明an2n.下面使用数学归纳法证明当n1时，a11，a12，则当n1时，不等式成立假设当nk时，kak2k成立，则当nk1时，aa4k4k，只要证明4k4(k1)，只需2k12k(k1)，只需(2k1)38k(k1)2，化简后恒成立，于是ak12(k1)，所以4(n1)1.考向三归纳、猜想与证明【例3】 设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出严格的证明解(1)当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是2a2a20，解得a2.(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即S2Sn1anSn0.当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.由(1)得S1a1，S2a1a2.由可得S3.由此猜想Sn，n1,2,3，.下面用数学归纳法证明这个结论()n1时已知结论成立()假设nk(kN*)时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由()、()可知Sn对所有正整数n都成立方法总结 归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此要务必保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写【训练3】 在数列an、bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.(1)解由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk(k1且kN*)时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2，所以当nk1时，结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立(2)证明.n2时，由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n.故.综上，原不等式成立热点突破36数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明与自然数n有关的不等式问题时，常以数列与不等式的综合为主线，同时考查数列递推关系、不等式证明、不等式性质等在证明时，比较法、放缩法、分析法、反证法等证明不等式的方法在此都可使用，有时还要考虑与原不等式等价的命题【示例】 (2012大纲全国卷改编)函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标(1)证明：2xnxn13；(2)设bnxn3，求数列bn的通项公式审题与转化 第一步：(1)先从函数入手，表示出直线方程从而得到交点坐标，再利用数学归纳法证明2xnxn13.(2)由(1)得xn1.则xn133，可得1，再利用构造法求通项bn.规范解答 第二步：(1)证明：用数学归纳法证明：2xnxn13.当n1时，x12，直线PQ1的方程为y5(x4)，令y0，解得x2，2x1x23.假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线PQk1的方程为y5(x4)，令y0，解得xk2.则归纳假设知xk240，即xk1xk2.2xk1xk23，即当nk1时，结论成立由知对任意的正整数n,2xnxn1an，求a1的取值范围(1)证明若a1是奇数，假设当n