杭州市2009年第二次高考科目教学质量检测数 学 试 题（理）考生须知：1本卷满分150分，考试时间120分钟。2答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名。3所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。4考试结束，只需上交答题卷。参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式 球的体积公式 其中S表示棱住的底面积，h表示棱柱的高 棱台的体积公式：其中R表示球的半径 棱锥的体积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积 h表示棱台的高其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若则实数a等于（ ）A1B2CD2已知向量a、b的夹角为60，且|a|=2，|b|=1，则向量a与向量a+2b的夹角等于（ ）A150B90C60D303函数的图象为C，下列结论中正确的是（ ）A图象C关于直线对称B图象C关于点（）对称C函数内是增函数D由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C4执行如图的程序框图，如果输入a=10，b=11，则输出的S=（ ）ABCD5已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足是“点P位于平面ABC内”的（ ）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，则三个三角形面积之和的最大值为（ ）A4B8C16D327如图，设平面垂足分别是B、D，如果 增加一个条件，就能推出，这个条件不可能是下面四个选顶中的（ ）ABCAC与BD在内的射影在同一条直线上DAC与、所成的角都相等8设函数内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，an，则对任意正整数n必有（ ）ABCD9在直角坐标系xOy中，过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T）交双曲线右支于点P，若M为FP的中点。则|OM|MT|等于 （ ）AbaBabCDa+b10设函数则使M=N成立的实数对（a，b）有（ ）A0个B1个C2个D3个二、填空题：（本大题有7小题，每小题4分，共28分）11函数的值是 12若则在展开式各项系数中最大值等于 。13如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为 1的圆，那么这个几何体的侧面积为 。14直线的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于 。15若实数的最小值为3，则实数b的值为 。16现有一批长度为3，4，5，6和7的细木棒，它们数量足够多，从中适当取3根，组成不同的三角形中直角三角形的概率是 .17如图，把正三角形ABC分成若干全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等。设点A为第一行，BC为第n行，20090423记点A上的数为a1，1，第I行中第j个数为则下列结论中正确的是 （把正确结论的序号都填上）。三、解答题：（本大题有5小题，共72分）18（本题14分）甲乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干。每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个。从一个袋子中 任取两个球，取到的标号都是2的概率是 （1）求n的值； （2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； （3）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和,求的分布列和E。19（本题14分）如图，在直角坐标系xOy中，锐角ABC内接于圆已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c。 （1）若的值； （2）若的值。20（本题14分） 如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，M是线段EF的中点。 （I）求证：ACBF； （II）若二面角FBDA的大小为60，求a的值。 （III）令a=1，设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照MEC的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥PBFD的体积的最小值。21（本题15分） 如图，在直角坐标系为正三角形， （1）求证：点B1，B2，Bn，在同一条抛物线上，并求该抛物线C的方程； （2）设直线l过坐标原点O，点B1关于l的对称点B在y轴上，求直线l的方程； （3）直线m过（1）中抛物线C的焦点F并交C于M、N，若，抛物线C的准线n与x轴交于E，求证：的夹角为定值。22（本题15分） 已知 （1）求函数的单调区间； （2）若关于x的方程恰有一个实数解，求实数a的取值范围； （3）已知数列，若不等式时恒成立，求实数p的最小值。参考答案一、选择题：15 ADCBC 610 BDCAA二、填空题：112 1220 13 14 15 16 17三、解答题：18解：（1） 3分 （2）记“一个标号是1”为事件A，“另一个标号也是1”为事件B，所以 3分 （3）随机变量的分布列为01234P （3）E=2.4 8分19（本题14分）解：（1）变式得： 4分原式； 3分 （2）解1QAOB=，作ODAB于D，20（本题14分）解：建立空间坐标系， （1） （2）平面ABD的法向量 （3）解1 设AC与BD交于O，则OF/CM，所以CM/平面FBD，当P点在M或C时，三棱锥PBFD的体积的最小。 5分解2 设AC与BD交于O，则OF/CM，所以CM/平面FBD，当P点在M或C时，三棱锥PBFD的体积的最小。 4分21（本题15分）解：（1）设则 （2）解1由（1）得解2 设直线由（1）得的中点在l上。设，则有 （3）设M，N在直线n上的射影为，则有：22（本题15分）解：（1）当是常数，不是单调函数； （2）由（1）知， （3）因为时，则有成立数 学题号：03“数学史与不等式选讲”模块（10分）设x , y , z 0, x + y + z = 3 , 依次证明下列不等式, （1）( 2 ) 1； （2）； （3）+ 2.题号：04“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）已知双曲线的中心为，实轴、虚轴的长分别为2a,2b(ab)，若P，Q分别为双曲线上的两点，且OPOQ. （1）求证: +为定值； （2）求OPQ面积的最小值.