2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题6.3 等比数列及其前n项和目录一、题型全归纳1题型一 等比数列基本量的运算1题型二 等比数列的判定与证明3题型三 等比数列性质的应用6类型一等比数列项的性质的应用7类型二 等差数列前n项和性质的应用8题型四 数列与数学文化及实际应用10类型一等差数列与数学文化10类型二等比数列与数学文化11类型三递推数列与数学文化12类型四周期数列与数学文化12类型五数列在实际问题中的应用13二、高效训练突破13一、题型全归纳题型一 等比数列基本量的运算【题型要点】1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(q0，nN*)(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项G2ab“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3.解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn4等比数列的基本运算方法(1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行(2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成a1，n，q，an，Sn的“知三求二”问题【例1】记Sn为等比数列an的前n项和，若a1，aa6，则S5_【答案】：【解析】：解法一：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.解法二：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以a2a6a6，所以a21，又a1，所以q3，所以S5.【例2】已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3.【答案】见解析【解析】：设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.联立和解得(舍去)，因此bn的通项公式为bn2n1.(2)由b11，T321得q2q200，解得q5或q4.当q5时，由得d8，则S321.当q4时，由得d1，则S36.题型二 等比数列的判定与证明【题型要点】等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列【易错提醒】：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可 【例1】已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式【答案】见解析【解析】(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.将n2代入得，a33a2，所以，a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.【例2】设数列an的前n项和为Sn，满足：Snan，n1,2，n.(1)求证：数列是等比数列；(2)求Sn.【答案】见解析【解析】(1)证明：由题意，n1时，S1a10，即a10，n2时，SnSnSn12SnSn1，所以Sn，S1，所以数列是以为首项，为公比的等比数列(2)由(1)知，Sn，所以Sn.【例3】(2020沈阳模拟)已知an，bn都是等比数列，那么()Aanbn，anbn都一定是等比数列Banbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列Canbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列Danbn，anbn都不一定是等比数列【答案】C【解析】an1，bn(1)n，则an，bn都是等比数列，但anbn不是等比数列；设等比数列an的公比为p，等比数列bn的公比为q，则pq.所以数列anbn一定是等比数列【例4】已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an3n(nN*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数，使得an为等比数列？若存在，求出的值和通项公式an，若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】：(1)当n1时，S1a12a13，解得a13，当n2时，S2a1a22a26，解得a29，当n3时，S3a1a2a32a39，解得a321.(2)假设an是等比数列，则(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.下面证明an3为等比数列：因为Sn2an3n，所以Sn12an13n3，所以an1Sn1Sn2an12an3，即2an3an1，所以2(an3)an13，所以2，所以存在3，使得数列an3是首项为a136，公比为2的等比数列所以an362n1，即an3(2n1)(nN*)题型三 等比数列性质的应用【题型要点】1.等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，kN*)(1)若mnpq2r，则amanapaqa(2)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)常用结论2记住等比数列的几个常用结论(1)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列(2)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂(4)an为等比数列，若a1a2anTn，则Tn，成等比数列(5)当q0，q1时，Snkkqn(k0)是an成等比数列的充要条件，此时k.(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方类型一等比数列项的性质的应用【例1】已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2B1C. D【答案】C.【解析】：法一：因为a3a5a，a3a54(a41)，所以a4(a41)，所以a4a440，所以a42.又因为q38，所以q2，所以a2a1q2，故选C.法二：因为a3a54(a41)，所以a1q2a1q44(a1q31)，将a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2，所以a2a1q，故选C.【例2】(2020开封模拟)已知数列an满足log2an11log2an(nN*)，且a1a2a3a101，则log2(a101a102a110)_.【答案】100【解析】由log2an11log2an，可得log2an1log22an，所以an12an，所以数列an是以a1为首项，2为公比的等比数列，又a1a2a101，所以a101a102a110(a1a2a10)21002100，所以log2(a101a102a110)log22100100.类型二 等差数列前n项和性质的应用【例3】等比数列an中，前n项和为48，前2n项和为60，则其前3n项和为_【答案】63【解析】法一：设数列an的前n项和为Sn.因为S2n2Sn，所以q1，由前n项和公式得，得1qn，所以qn.将将入，得64.所以S3n6463.法二：设数列an的前n项和为Sn，因为an为等比数列，所以Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，所以(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即S3nS2n6063.法三：设数列an的前n项和为Sn，因为S2nSnqnSn，所以qn，所以S3nS2nq2nSn604863.【例4】(2020池州高三上学期期末)已知等比数列an的公比q2，前100项和为S10090，则其偶数项a2a4a100为()A15 B30 C45 D60【答案】D【解析】设Sa1a3a99，则a2a4a100(a1a3a99)q2S，又因为S100a1a2a3a10090，所以3S90，S30，所以a2a4a1002S60.【例5】(2020丽水模拟)设各项都是正数的等比数列an的前n项和为Sn，且S1010，S3070，那么S40等于()A150 B200C150或200 D400或50【答案】A【解析】易知S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030.又S200，所以S2030，S20S1020，S