一.符号与括号例 1.计算 = - 2 + 3- 4+ + (-I)】f分析：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为一1,如果按照将第一 与第二项，第三与第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的一1。解： = (1-2)+(3-4)* + 月下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是:个(一 1)的和，融 一当n为奇数时，上式是亍个(一1)的和，再加上最后一项(T)函，所以有说明：两种情况可以合并为:.巧添辅助数1111 1 1 例技.计算：ya+y诟+=+一iiii 解.原式=-+-+-+一+ 解原式2 4 8 16 32111111I11112 4 8 16 32 32 6432 641 1 1一+ + -64 6411641- _-一+42_1.1 1 1+4 8 16 16 64三. 巧用整体例3.购买5种物品攻，,，义，的件数和用钱总数列成下表:品名次数 ffA&4AA总铉数第一次购买件数134561叫5元第次购买件数157911狮4元那么，购买每种物品各一件共需多少元？解：由已知表格：购买1件其，3件曳，4件冬，5件义，6件丛共需1995元；所 以购买2件4, 6件4, 8件也，10件义，12件也共需2x1995元；又因为购买1件A， 5件&，7件冬，9件耳，11件工5共需2984元；所以购买每种物品各一件共需2x1995-2984=1006 （元）说明：设购买物品A需为元1=1，2，3，4，5则如+ 3的十4昭十皿十如=1995，电十迅十踞十钿#十11% = 29朝由2x一得I】+ 痘2 十巧十 += 2盈1995 - 25S4 = 1006需要指出的是:我们无法计算每个昭，但我们能巧算出舒十幼十电十知十电这个整体， 整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。四. 巧用凑整运算例 4.计算：11 + 192+ 1993 + 19994 + 199995 + 19999 + 19999997 + 199999998解：原式二(20 - 9 ) + 200 - 8+ (200000000 - 2 )=222222220-(9 + 8 + - +2)=222222220-44=222222176六.巧用拆项法例 7 计算 1 + 上 + 1 +1+ +1=例/.计算 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 41 + 2 + 3 + 100 =分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用1 1上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为镇，成，而122布-而，那么本题就不难解1 _1_2_ 2 _ 24950 50 x99 99x100 99 100决了。22221 十一十十十 . , 十十解：原式=61220990010100同理5050 1)1/11 、可以拆成（一 ）的形式。a n n 十 a1111112(1十十_ 十十2(1 2 十 2 3 十 3 4 十十 99 100 100 1012(1-)= 1011011说明：形如()的分数n ( n 十 a)原式1 f1 十 十1 _ 1 J3伽 2 % +Ln 11解：应用关系式赢ET厂E来进行“拆项”。I 1 111 1+ 一 一 + - - . + 4 4 7- 2 3理十11 13死十1勿十12. 已知。为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2,设P为AB的中点，P?为AP 的中点，,Poo为P99的中点，求P，P, P3，P|o所对应的各数之和。JLZz ZzJL 匕 JL JJ124113. 计算：1 2+ 4 5 + 1 3.8635364.求和111122222、,3333+ H+) + ( + + F+) + ( + + 1-6059 602 3 34 4+如+斗 60 60 6060345960345596044 6591 2 3 459=+ + + +. +2 2 2 22=!(1 + 2 + 3+.+59)1 (1 + 59) X592 21 2.解：设片对应的数为气（1 i 100），则七=1+富，i=崇,1。所以，+ a + +a(11 11+ J+ 1 + 101 -121003. 解：原式=(T?+1!+ (-2言_(4_3E)66 J J D=-8 + 14. 解：原式5.解：原式1 )111111112005x(1-) + ( - ) + ( - ) + + () + (-=22 33 42003200420042005=2005 x (1 -120052005 x20042005=2004当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。整数（正整数、零、负 整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为一个既约分数 也（p主0, p、q均为整数且互素）。并且，有理数可以比较大小，有理数的和、差、积、商 P（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数 学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则， 公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧 妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。【典型例题】一.巧用错位相减1 2 3 410例1. 2 + 4 + 8 + 16 不；2 _ 3 4一4 2 410 _ 1112 , 21029210解：.原式+(1112 210 J2122102531256或者用下面的“错位相减法”求和。1 2 3 4104 S I11令 2 4 8 16+ -2101S则2sI1+ 4 8 169101210211将这两式错位相减得11111S 一+ + + + 22 4 8 16+ 21010211S 1 +1 +1 +1 + +2 4 8 161029210再将这两式错位后式减去前式得101S = 122101012.S2210.巧用分析法210+ 一2112531256例 2. 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + n (n +1)解：考察第n项n (n+1)如何分析，仔细观察后会发现:(n + 1)n(n + 1) 原式(n + 2 )(n - 1)(n + 1)(n + 2 )(n一 1) n (n +1)(1 x 2 x 3 0 x 1 x 2) + (2 x 3 x 4 1 x 2 x 3) +1(3 x 4 x 5 2 x 3 x 4 )+n (n + 1)(n + 2)(n -1)(n + 1)1，、，、=一n (n + 1)(n + 2)3说明：分析和错位相减是有理数运算中常用的技巧，在解题中应注意总结归纳规律，力 求灵活应用。三.巧换元例3.计算:(1 1+ + 12 31 )(11C 11 )(1 1+1 + -+ , +-1 + + . +-+ -1997)k21996)k 21997)k 2 311111+=a， 一 +_ + .+ b 则 a -b = 121996231996 ，则1(1 )b +-a a +b1997)k1997)解：设1 +1 )+ +1996) 原式一=ab +a1997ab b1997a 一 b1997 199724690例 4. 123462 - 12345 x 12347 ；解：直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347, 可设字母n=12346,那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为 n2 (n 1)(n + D = n2+1 = 1，即原式分母的值是.原式=24690。四.巧相约1999 _19991999 199919991999例5计算：2000 一 20002000 200020002000_ 1999 _ 1999 x 10001 1999 x 100010001解：原式2000 一 2000 x 10001 2000 x 1000100011999 1999 1999=+2000 2000 2000_ 1999=2000五. 巧用倒序配对1 (1 2) (12 3)( 1248 49)例6.计算：2 + J + 3尸虹 + 4+ 50 + - + 50 + 万)解：设4=原式，对括号内各项倒序排列后，再设1 (211 (3 2 1 B=2+ 一+一 + 一+一+一 +(竺+竺+150 5021)+ +50 507，则:A + B = 2A +1 + 2 + 3 + + 48 + 49(1 + 49) x 492A 1225 A = 612.52所以原式=6125=1225所以六.巧用倒数法1117111711例7.计算 36 :（ 4 + 正一场 一 36）+（ 4 + 一 蓝 一 36）: 361,1171、,1171、1分析：因为36 :（ 4 +仍-场-茹）与（4 +仍-18 - 36）:瓦互为倒数