分类讨论在导数中的应用 教学目标：1知识目标；通过利用导数求函数的极值、最值、单调区间等问题对字母参数进行分类讨论。2能力目标：培养学生对字母参数进行分类讨论的能力。3情感目标：培养学生分类讨论的意识。教学重点、难点重点：分类讨论思想难点：如何分类，分类的标准。教学过程：一、引入2010年绍兴市高三教学质量调测第22（3）题得分率不高，主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。引起分类讨论的主要原因归纳一下主要由以下五种：1、由数学概念引起的分类讨论；2、由数学运算引起的分类讨论；3、由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；4、由图形的不确定性引起的分类讨论；5、由参数的变化引起的分类讨论。含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要用不同的求解或证明方法。而对参数的分类按什么标准进行分类讨论是我们的难点。二、例题例：若函数，求函数的极值点。解：因为，所以令得（舍）或列表如下：（0，1）1（1，+）0+极小值由上表知：是函数的极小值点。变式1：若函数，试讨论函数的极值存在情况。解：法一：令，因为对称轴，所以只需考虑的正负，当即时，在（0，+）上，即在（0，+）单调递增，无极值当即时，在（0，+）是有解，所以函数存在极值。综上所述：当时，函数存在极值；当时，函数不存在极值。法二：令即，当即时，在（0，+）单调递增，无极值当即时，解得：或若则列表如下：（0，）（，+）0+极小值由上表知：时函数取到极小值，即函数存在极小值。若，则，所以在（0，+）单调递减，函数不存在极值。综上所述，当时，函数存在极值，当时。函数不存在极值变式2：若函数，求函数的单调区间。解：设1当时，因为，若时，在上即，所以在（0，+）单调递减。若时，或列表如下：（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）0+0极小值极大值由上表知： 的减区间为，增区间为：。2当时，即，所以在（0，2）单调递减即，所以在（2，+）单调递增3当时，因为，4所以有一正一负两根，解得：或列表如下：（0，）（，+）0+极小值由上表知： 的减区间为，增区间为：。综上所述：时，的减区间为，增区间为：。 时， 递减区间为（0，2），递增区间为（2，+） 时，的递减区间为，增区间为：变式3：若函数，求在区间2，3上的最小值。解：设，解得：或1当时，即，所以在（0，1）单调递增即，所以在（1，+）单调递减所以在2，3上单调递减，所以。2当时，若即时， 即，所以递增，所以 若即时， 即，所以递减；， 即，所以递增，所以 若即时， 即，所以递减，所以综上所述：三、小结：在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时，若函数中含有参数，我们需对参数进行讨论。1）若导函数的二次项系数为参数，需对二次项系数为正、负或零进行分类讨论；2）若需考虑判别式，需对0、 =0、 0进行分类讨论；3）在求最值或单调区间时，由f(x)=0解出的根， 需与给定区间的两个端点比较大小，进行分类讨论。分类讨论的思想方法：就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出第一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”。在分类讨论时，要注意：1、分类对象确定，标准统一；2、不重复，不遗漏；3、分层次，不越级讨论。第 1 页 共 5 页