课堂达标（五十五）数系的扩充和复数的引入A基础巩固练1.（2016 北京卷）复数1-等于（A.B.C.D.解析5i2+15i.故选A.答案2.（2018 天津质检）已知i为虚数单位,aC R，如果复数2i吕是实数，则a的值A.B. 2C.D. 4解析a/ 2i = 2i 1 i=2i 2 2i = 2 2 i a= 4.答案3 . (2018-南昌月考）z是z的共轭复数，若z+ z = 2, （z z ）i = 2（i为虚数单位）,则z等于（A. 1 + iB. 1 iC. 1 + iD. 1 i解析方法一：设z = a+ bi , a, b为实数，则z = a bi.a,/ z+ z = 2a= 2, a= 1.2又(z z )i = 2bi = 2b= 2, b= 1.故 z = 1 i.2 方法二： (z z )i = 2, z z =r= 2i.i又 z + z = 2, (z z ) + (z + z ) = 2i + 2, 2z = 2i + 2,. z = 1 i.答案Da4. (2018 福州二检)定义运算cbd = ad-bc，则符合条件z 1 + ii 2i=0的复数z的共轭复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限解析由题意得，2zi | i(1 + i)| = 0,则 z =二丄一 121 =1 + li ,2i2222 其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.答案B2i22 0175.已知复数z= 1 + ，贝U 1 + z + z+ z 等于()1 iA.1 + iB.1 iC.iD.02i 九1 + i解析 z = 1+= 1 += i ,1 i22 018“. 2 018“. 4X5042一22 0171 人 1 z1 i1 ii 一. 1 + z+ z + z = 1+ i.1 z1 i1 i答案A6 .(陕西高考)设复数z= (x 1) + yi( x, y R)，若| z| x的概率为()31A.4+ 271 1C.4271 1D.厂解析由| z| W1可得(x 1)2+ y2w 1,表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部,满足yx的部分为如图阴影所示,#1 2 1 24冗 X1 -2X1由几何概型概率公式可得所求概率为:P=2n X r答案C7 . (2017 江苏)已知复数z = (1 + i)(1 + 2i)其中i是虚数单位，则z的模是解析|z| = |(1 + i)(1 + 2i)| = |1 + 川1+ 2i| =2 X 5 = 10，故答案为.10.答案10&已知复数，zi = cos 15+ sin 15i和复数Z2= cos 45+ sin 45 i，贝U Z1 Z2 =解析乙Z2= (cos 15+ sin 15i)(cos 45+ sin 45sin 15 sin 45)+ (sin 15cos 45+ cos 15sin 45 )ii) = (cos 15 cos 45=cos 60 + sin 60答案值.9. (2018解析河北教学质量检测n+ i1n+ 丄1TT 2）已知i 1m R,复数 市空的实部和虚部相等，则1-1rr+1+1 m j 1m+ m j2由已知得答案10.复数-5)im=3Z1=乐 + (102.a)i2Z2=+ (2 a 5)i，若Z 1 + Z2是实数，求实数1 aZ1+ Z2 = -+-+ (a2 10)i + 1a+ 51 a2 + (2 a 5)i =32a+5+(a2 10) + (2 aa- 13a+a2+ (a + 2a 15)i.2z 1 + Z2是实数，a + 2a 15= 0，解得 a = 5 或 a = 3.T a+ 5工0,. a* 5，故 a= 3.B能力提升练1. （2018 新乡、许昌、平顶山调研)复数 Z1, Z2满足 Z1= n+ (4 m)i , Z2 = 2cos 0 +(入 + 3sin 0 )i( m 入，0 C R)，并且Z1= Z2，贝U入的取值范围是（A. 1,19B. -196, 1C. il9，71616m= 2cos 9 ,2化简得4 m=入 + 3sin 9 ,+ 3sin 9，由此可得 入=4cos 9 3sin 9 + 4 = 4(1 sin 9 ) 3sin解析由复数相等的充要条件可得4 4cos2 9 =入29 + 4 = 4si n 9916，72. (2018 宁夏银川一中一模)已知复数(1 + i)( a+ bi) = 2 + 4i( a, b R，函数 f(x)3sin 9 = 4 sin 9 8J善，因为 sin 9 1,1，所以 4sin 29 3sin答案C=2sin ax+-6 + b图象的一个对称中心是(A.n6，1B.n c18，C.n6，35nD.帀，1解析 因为(1 + i)( a+ bi) = 2 + 4i ,所以a+ bi2+ 4i 2+4i 1 i 苛=+r所以a= 3,b= 1.f(x) = 2sinn3x + 6+ 1，令 3x+n= kn , k Z,i6所以x=-n k n.5 n低+,k 乙令k = 1得x =百,所以f (x) = 2sin j3x +才+ 1的一个对称中心为i辛，1 答案D3.已知复数z= x+ yi，且| z 2| = 3,则y的最大值为x解析T I z 2| = , x 22+y2=,3,A (x 2)2+ y2= 3.由图可知答案,34设Z1, Z2是复数，则下列命题若 I Z1 Z2| = 0，贝y Z 1= z 2若乙=Z 2,贝U Z 1 = Z2 若 I Zi| = I Z2I，贝y Zi Z 1= Z2 Z 2 若 I Zi| = I Z2|，则 Z? = Z2真命题是.解析对于，IZ1 Z2I = 0? Z1 = Z2? Tl=三2,是真命题；对于，易判断是真命题；对于若 Zi = 2， Z2= 1 + ：.3i，则 I ZiI = I Z2I，但 z?= 4, z2 = 2+ 2 3i，是假命题.答案5.已知z是复数，z + 2i ,均为实数(i为虚数单位)，且复数(z + ai) 2在复平面上2 i对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解析 设 z = x + yi( x, y R),则 z + 2i = x + (y + 2)i，由题意得 y= 2.z x 2i 1 2r= xr= 5(x2i)(2 + i)11=-(2x+ 2) + (x 4)i.55由题意得 x = 4,. z = 4 2i.2 2(Z + ai) = (12 + 4a a) + 8( a 2)i.由于(z+ ai) 2在复平面上对应的点在第一象限，12+ 4a a2 0,解得 2v av 6.8 a 2 0,实数a的取值范围是(2,6).C尖子生专练若虚数z同时满足下列两个条件：z+5是实数；z+ 3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在？若存在，求出Z ；若不存在，请说明理由.解 这样的虚数存在，Z = 1 2i或z= 2 i.设 z = a+ bi( a, b R且 b*0),a+5.5a blz+一= a + bi +，= a + bi +2za+ bia + bT Z 是实数，b 2- 2 = 0.za + b又；0,. a2 + b2= 5.又z + 3= (a+ 3) + bi的实部与虚部互为相反数,解得I，b= 2或a一 2,b= 1,二 a+ 3+ b = 0.a+ b + 3 = 0, 由得；+ b2= 5,故存在虚数z, z = 1 2i或z= 2 i.