第29讲 抽屉原理教学目标l 理解抽屉原理的基本概念、基本用法；l 掌握用抽屉原理解题的基本过程；l 能够构造抽屉进行解题；l 利用最不利原则进行解题；l 利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。知识梳理 一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。二、抽屉原理的定义一般情况下，把n1或多于n1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。三、抽屉原理的解题方案1、利用公式进行解题苹果抽屉商余数余数：（1）余数1， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里2、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法。典例分析 考点一：直接利用公式解题例1、只鸽子要飞进个笼子，每个笼子里都必须有只，一定有一个笼子里有只鸽子对吗？【解析】只鸽子要飞进个笼子，如果每个笼子装只，这样还剩下只鸽子这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有只鸽子所以这句话是正确的利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”， ，（只）把个苹果放到个抽屉中，每个抽屉中都要有个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有只鸽子例2、人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有 人的头发的根数相同。【解析】这是一道抽屉原理的题目，所以要先分清楚什么是抽屉，什么是苹果。此题中的抽屉是人的头发：有20万个，中国的人数是苹果：13亿人，所以至少应有：（人）。例3、“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等【解析】假设共有个小朋友到公园游玩，我们把他们看作个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下种可能：0，1，2，其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见个熟人，所以共有个“抽屉”下面分两种情况来讨论：如果在这个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上个熟人，这样熟人数目只有种可能：0，1，2，这样，“苹果”数(个小朋友)超过“抽屉”数(种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等如果在这个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有种可能：1，2，3，这时，“苹果”数(个小朋友)仍然超过“抽屉”数(种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等总之，不管这个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等。例4、在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被整除？【解析】因为任何整数除以，其余数只可能是，三种情形我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”一个整数除以的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）这两个数的差必能被整除。例5、求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得是105的倍数【解析】对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它们的差是7的倍数；在剩下的6个数中，又可选出2个数，使它们的差是5的倍数；在剩下的4个数中，又可选出2个数，使它们的差是3的倍数。例6、某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?【解析】经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑这8个学生经过第二个月，将这8个学生分成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面只考虑这4个学生经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放人两个组，那么第一个月保持同组的人数为162=8人，第二个月保持同组的人数为82=4人，第三个月保持同组人数为42=2人，这说明照此分法，不会有2个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月例7、一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？【解析】由题目条件这次数学竞赛的得分可以从10-10=0分到10+310=40分，但注意到39、38、35这3个分数是不可能得到的，要保证至少有4人得分相同，至少需要3（41-3）+1=115人.考点二：构造抽屉利用公式进行解题例1、在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样你能说明这是为什么吗？【解析】从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面种：红、红；黄、黄；蓝、蓝；红、黄；红、蓝；黄、蓝，我们把种搭配方式当作个“抽屉”，把个小朋友当作个“苹果”，根据抽屉原理，至少有两个“苹果”要放进一个“抽屉”中，也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全一样。例2、从1，2，3，2010，2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？【解析】1，2，3，4，9，10，11，12，17，18，19，20，25，在这些数种中任何两个数的差都不等于4，可以看出这些数是从每8个连续的数中选出前面的4个连续的数那么有 20118=2513，所以最多可以选2514+3=1007个数。（对于这类问题，一种方法是先尽可能的多选，然后再找出这些数的规律，再计算出最多可以选出多少个。例3、时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，11，12这12个数，在其上任意做n个120的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值 【解析】（1）当时，有可能不能覆盖12个数，比如每块扇形错开1个数摆放，盖住的数分别是：（12，1，2，3）；（1，2，3，4）；（2，3，4，5）；（3，4，5，6）；（4，5，6，7）；（5，6，7，8）；（6，7，8，9）；（7，8，9，10），都没盖住11，其中的3个扇形当然也不可能盖住全部12个数 （2）每个扇形覆盖4个数的情况可能是： （1，2，3，4）（5，6，7，8）（9，10，11，12）覆盖全部12个数 （2，3，4，5）（6，7，8，9）（10，11，12，1）覆盖全部12个数 （3，4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，1，2）覆盖全部12个数 （4，5，6，7）（8，9，10，11）（12，1，2，3）覆盖全部12个数 当时，至少有3个扇形在上面4个组中的一组里，恰好覆盖整个钟面的全部12个数 所以n的最小值是9 例4、有苹果和桔子若干个，任意分成堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？【解析】需先跟学生介绍奇偶性：奇数奇数偶数；奇数偶数奇数；偶数偶数偶数。先用列表法进行搭配。由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性将这种情形看成个抽屉，现有堆水果，根据抽屉原理可知，这堆水果里至少有堆属于上述种情形的同一种情形由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数考点三：最不利原则例1、“走美”主试委员会为三八年级准备决赛试题每个年级道题，并且至少有道题与其他各年级都不同如果每道题出现在不同年级，最多只能出现次本届活动至少要准备 道决赛试题【解析】每个年级都有自己道题目，然后可以三至五年级共用道题目，六到八年级共用道题目，总共有（道）题目例2、在张卡片上不重复地编写上，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被整除？【解析】当抽出个奇数的时候，乘积还是奇数，最多再抽出张偶数，乘积即可被整除，也就是抽出个数可以保证乘积能被整除例3、从1，2，3，4，5，99，100这100个数中任意选出51个数，证明：（1）在这51个数中，一定有两个数互质；（2）在这51个数中，一定有两个数的差等于50；（3）在这51个数中，一定存在9个数，他们的最大公约数大于1.【解析】（1）我们将1100分成（1，2）（3，4）（5，6）（7，8）（97，98）（99，100）这50组，每组内的数相邻，而相邻的两个自然数互质。将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质。而现在51个数，放进50个抽屉里，则必定有两个数在同一个抽屉，于是这两个数互质。问题得证。（2）我们将1100分成（1，51）（2，52）（3，53）（40，90）（50，100）这50组，每组内的数相差50.将这50组数视为抽屉，则现在有51个数放进50个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉，那么这两个数的差为50.问题得证（3）我们将1100按2的倍数、3的倍数、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有（2，4，6，8，98，100），（3，9，15，21，27，93，99），（5，7，11，13，17，19，23，95，97）这三组，第一、二、三组分别有50、17、33个元素。最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内，那么至少有9个数在同一组，所以这9个数的最大公约数为2或3或他们的倍数，显然大于1.问题得证。实战演练 课堂狙击1、年级一班学雷锋小组有人教数学的张老师说：“你们这个小组至少有个人在同一月过生日”你知道张老师为什么这样说吗？【解析】从题目可以看出，这道题显然与月份有关我们知道，一年有个月，把这个月看成个抽屉，这道题就相当于把个苹果放入个抽屉中根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果因此至少有两个同学在同一个月过生日2、五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多【解析】数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友因此，这20名同学中，每个同学的