高数复习题1极限与连续一、填空题1函数的定义域为_函数的反函数为_设，则_当 时，若 与 等价，则_，_已知，则_二、单项选择题1若数列满足，则数列在的任一邻域之外（其中）数列中的点（ ）（）必不存在； （）至多只有有限多个； （）必定有无穷多个； （）可以有有限多个，也可以有无穷多个。2考察下列命题 若数列满足:，且，则。 若数列满足:，且，则。 设，且，则存在，当时，有。 设，且，则存在，当时，有。正确的命题是（ ）。（），； （），； （），； （），。3下列结论错误的是（）（）函数是有界函数；（B）当时，函数的极限存在；（C）是奇函数； （D）当时， 是无穷小量4设 ，则=（ ）（）； （）； （）1； （）2。5设，则当时，（ ）（）和是等价无穷小量； （B）是的高阶无穷小量；（C）是的低阶无穷小量； （D）和是同价无穷小量但非等价量6极限 =（ ）（）2； （）0； （）； （）不存在但不为。7设，则（ ）（）1； （B）0； （C）； （D）8下列运算过程正确的是（ ）（）；（B）；（C）； （D）9设函数，讨论函数的间断点，其结论为（ ）（）不存在间断点； （）是的间断点；（）是的间断点； （）是的间断点。10设 在处连续，则（ ）（）2； （）； （）； （）。三、设求的表达式四、设函数，讨论函数的连续性，并指出间断点的类型五、设在上连续，求六、计算极限（1） （2）七、设 ，（），证明存在，并求八、已知，求九、设是三次多项式，且，（1）求，； （2）求； （3）十、设在区间上连续，是两个任意给定的正数，证明存在，使得参 考 答 案一、填空题1函数的定义域为 函数的反函数为 设，则当 时，若 与 等价，则，3已知，则二、单项选择题1若数列满足，则数列在的任一邻域之外（其中）数列中的点（ B ）（）必不存在； （）至多只有有限多个； （）必定有无穷多个； （）可以有有限多个，也可以有无穷多个。2考察下列命题 若数列满足:，且，则。 若数列满足:，且，则。 设，且，则存在，当时，有。 设，且，则存在，当时，有。正确的命题是（B ）。（），； （），； （），； （），。3下列结论错误的是（B）（）函数是有界函数；（B）当时，函数的极限存在；（C）是奇函数； （D）当时， 是无穷小量4设 ，则=（ B ）（）； （）； （）1； （）2。5设，则当时，（ A ）（）和是等价无穷小量； （B）是的高阶无穷小量；（C）是的低阶无穷小量； （D）和是同价无穷小量但非等价量6极限 =（ D ）（）2； （）0； （）； （）不存在但不为。7设，则（ D ）（）1； （B）0； （C）； （D）8下列运算过程正确的是（ C ）（）；（B）；（C）； （D）9设函数，讨论函数的间断点，其结论为（B ）（）不存在间断点； （）是的间断点；（）是的间断点； （）是的间断点。10设 在处连续，则（ D ）（）2； （）； （）； （）。三、设求的表达式解：四、设函数，讨论函数的连续性，并指出间断点的类型解：因为在时无定义，所以为间断点，函数在定义域内连续。又因为：当时，所以是无穷间断点；当时， ，所以，是可去间断点。五、设在上连续，求解：因为在上连续，所以，而，所以：。六、计算极限（1）解：（2）解：原式=。七、设 ，（），证明存在，并求解：因为，所以：数列有界；下证单调性：因，假设，则：，即：，所以数列单调递增且有上界，从而，极限存在。设，则由得：，即：。八、已知，求解：所以：，得：，当时，不符合题意，舍去；所以，；此时，因：所以：。九、设是三次多项式，且，（1）求，； （2）求； （3）解：（1）因为，所以，；（2）由（1）可知，为多项式的两个根，设，由，解得：，所以，（3）。十、设在区间上连续，是两个任意给定的正数，证明存在，使得证：因为在区间上连续，且，所以，在连续，有闭区间上连续函数的性质，知：必，使在上，从而，对，有，即：，由介值定理得：，使。4