圆中常见的两解问题失误剖析圆中有两解的问题较多，如弦所对的圆周角就有两个，这两个圆周角互补.由于圆的对称性，圆中的两条平行弦与圆心也有两种位置关系等，解答这些问题时稍有不慎，就会造成下列失误. 1. 忽视对点与圆的位置关系的分类例1若点P到O的最长距离为10，最短距离为2，则O的半径为_.错解:填6.剖析:错解只考虑了点在圆内的情况，却忽视了点在圆外的情况.PBAOOPBA图2图1正解:(1)若点P在O内如图1，过点P作直径AB,则PA=10,PB=2.AB=PAPB=12.O的半径为6.(2) 若点P在O外如图2，连接OP交O于B,延长PO交O于A.则PA=10,PB=2.AB=PAPB=8.O的半径为4. 所以填6或4.2.忘记两圆半径的大小关系造成失误例2 已知O1与O2内切，O1的半径为5，若两圆的圆心距为2，则O2的半径为_. 错解:填3.剖析:两圆内切，圆心距等于两圆半径之差.因为本题两圆半径大小关系不明确，所以圆心距等于两圆半径之差的绝对值.正解:设O2的半径为,则5=2.5=2. =3或=7.或分类讨论：(1)若5 ，则5=2. =7.(2)若5 ，则5=2. =3.所以填3或7.3.因两圆相切的关系不具体导致漏解例3 若O1与O2相切，O1的半径为5，O2的半径为8，则两圆的圆心距为_.错解:填13.剖析:两圆相切，分内切、外切两种.正解:(1)当两圆内切时，圆心距为两圆半径之差，即3. (2)当两圆外切时，圆心距为两圆半径之和，即13. 填3或13.4.忽视对弦(不是直径)所对的弧的分类例 4 已知,AB是O中一条非直径的弦，AOB=80，点C是O上一点(不与A、B重合)，则圆周角ACB的度数为_.错解:填40.图3COCBA剖析:很明显，弦AB所对的弧一条是优弧，另一条是劣弧.因此，它所对的圆周角有两解，其和为180.正解:如图3,若点C在优弧上,则ACB=AOB =40.若点C在劣弧上,则ACB=180ACB=140. 所以填40或140.5.忽视对平行弦与圆心的位置的讨论例5已知O的半径为13,弦ABCD，AB=24，CD=10，则弦AB与CD的距离是( ).A.7 B.17 C.12 D. 7或17错解:选A或选B.图5图4FFEEOODDCCBABA剖析:由于平行弦与圆心的位置关系有两种：(1)两条弦在圆心同侧,(2) 两条弦在圆心异侧.所以要分类讨论.正解：过O作EFCD于E,交AB于F,连接OA、OC,则CE=CD=5,AF=AB=12.在RtCOE中,OE=12.同理 OF=5.(1)当弦AB，CD在圆心O同侧时，如图4，则EF= OEOF=7.(2)当弦AB，CD在圆心O异侧时，如图5，则EF= OEOF=17. 所以选D.6.忘记对圆周角与圆心的位置的分类例6已知O的半径为2，若弦AB与AC的长分别为、，则BAC的度数为_.错解:填75.剖析:圆周角与圆心有三种位置关系，应分类讨论.本题不存在圆心在圆周角一边上的情况，错解只考虑了圆心在圆周角内部的情况，却忽略了圆心在圆周角外部的情况.正解:(1)当圆心O在BAC内部时，如图6，作直径AD，连接BD、CD.，则ACD=ABD=90.在RtABD中，AD=4，AB=.由勾股定理得BD=2，BD=AD.BAD=30.在RtACD中，AD=4，AC=.由勾股定理得CD=.AC=CD. CAD=45.BAC=CAD+BAD=75.C图7图6DDOOCBBAA(2)当圆心O在BAC外部时，如图7，作直径AD，连接BD、CD，则ACD=ABD=90。由(1)可知BAC=CADBAD=15. 所以填15或75.7.忽略对两圆圆心与公共弦的位置的讨论例7 O1与O2相交于A、B两点，它们的半径O1A=15,O2A=13,公共弦AB=24,则圆心距O1O2=_.错解：填14.剖析：两圆相交，习惯上画成两圆圆心在公共弦两侧的情形，错解受到思维定势的影响，忽略了两圆圆心也可能在公共弦同侧的情况.图9图8O2O2O1O1CCBBAA正解：设连心线O1O2(或其延长线)交AB于C，则O1O2垂直平分AB，AC=AB=12. 在RtA O1C中，由勾股定理得O1C=9；在RtA O2C中，由勾股定理得O2C=5.(1)当圆心O1、O2在公共弦AB两侧时，如图8，则O1O2=O1C+ O2C=14.(2)当圆心O1、O2在公共弦AB同侧时,如图9，则O1O2=O1CO2C=4.所以填4或14.