线性代数(经管类第四版)中国人民大学出版社第五章课后习题答案习题5-11应选(D)解 ”与B合同,即存在n阶可逆矩阵G 使得ctac=b.ctac相当于对/做初等变换，解(1) / = (* JM)1 21)2 41 221丿J7匕丿*1-1-2-11-2y-2-2-7)匕丿1 _12-：11334)2311-】1 -20rA) = r(B).(2) / = (x,z)-203解法一 矩阵/的二次型为Xy 2兀兀2 6jqx3 + 2X|X4-4x2X3 + 尤2兀4+ !兀-3x34解法二矩阵/的二次型为U 1 G丿, x 2，兀3的 *次 及 d 勺 v?, v a的 次 型.、yx2令 * yixi 贝”胃=2 疋 + 23+ 2x3 + 2兀2兀匚=f,分别是二次型f在变元由二次型的|生质,令1 = /2心P10，即当C= 1000时，| C -1丰0,非奇异1)的JSw(/ = ( X1 丄S些）/CAC宀丿/bJ弓001J1 00 0r (0 1工2X3)y2 几)E少C y2 =(y y2 y)B y2AJ0)0 K所求.1丿(0 1bctac 即 C- 1 0lo 06解 失巨阵的秩为2,所以二次型的秩为2.7.(1) 2-20)=X7-212X1 0-20丿1 1-2、Tf2-2(11-2=yT0 1221-201-2卫01J0-2o丿101丿0解fy=yTf20/= 2屛-衣+4必.2 -2 (八 f 21 2 xZl/V21T2-2(hrl/721-1T=y011-21-201-1y01*I 001/2丿 1 (10、=yf ( -I o j, o 1 f胡一冗+必习题5-21.(1)0 0)3 2 ,2 3丿（1解二次型的矩阵为A= 0lo2-A0A-AE=03-20 202=(2-A)(5-A)(l-A)3 A故昇的特征值为 A1 = 2,兄2=5,兄3=1当；I = 2时，解方程（/-2*）兀=0,由得基础解系1 20 10 0丿当几2 = 5时9解方程（z4-5E）x = 0,由(-30A-5E=0 -2I 0 2()得基础解系$2=1，(0 取马=1/V2当；3 = 1时，解方程（A-E）x = Q,由00)10丿2于是正交竟换为2I 1/2；且有 f = 2y +5y + yl .r 110解二次型矩阵为A =101 -11 01 1901 1 1-A10-1A-AE =11-/10 -1-11-201=(兄 + 1)( 乂一3)(2 1)-1 011-/1故/的特征值为；1= -1, 2=3亍久3=4 =-1_|/2 当 右二-1时，可得单位特征向量 片= :1/2（1/2寸亠1/2当 仏=3时，可勺寻单位特征向量巴=_1/2-1/2）当右二嘉二1时，可诲单位特征向量厲=(1/坷厂叮01/V24 二u_于是正交变换为-1/2-1/2l h0nh02且凉 f = -yl + 3yf + Jj + J4 2* 5 -13解 二次型矩阵为 -15 -3 ，秩为2亍 解彳导 = 3, 3 _3 c)恃征值为4,9,0.对应的特征向琶分别& 71=1川厂一1、耳3 =1 ,1 b1 2丿4 I，帀2，帀两两交,f/Ji l/Ti -1/单位化傅正交矩阵。二1/2 -1/31/ A ,、01 八 2/V6;做x = Qy的正交査换将二次型化为标准范 f = 4卅+ 9局3.(1)解 / = xl2+2x/ + 2xlx3-2x2x3 = x12 + 2xx3 + x/-2x2x3 + x/ = (X+x3)2-2x2x3+xJ= (xl+x)2+x-2x2x3t + xxl =(曲+兀3 )+ (七一勺)2兀孑，+七巧=必+丿2几令 V*2 二宀-一乃+必(1-1A即兀2001,卞已为x=Cy宀丿0一 11丿5丿*1 =J1+J21 10、* xi=y-y2,即1 -1 0yi3=Jjlo V解 由于所给二次型中无平方项,所以代入原二关型得/=_4加十4 + 4戸几=-4 Ji广）引=戸 -jjj 再令s = s =y2戸=引+-z3y2= z2 J?3 =s】匸何#匡* .解此二次型对应的矩阵为A =(i1OA101*01-1丿(I 1（八10)1011-1101-101-11001-10n10010lo0丿10叭0-100一 10(110r十勺、(001-1-171-1-101101150丿01J码1n0100-11of 1 -1-I)所以 C= 01 I , |(7| = 1hO,令(oo I)/ V-1一1、2兀2011X2丿06丿代入原二次型可得标准形 f =y - yl，5.(1)解 / =(X +x2 x3)2 +Xj + 2x2x3 - =(xj + x2- x)2 + (x2 + x3)2 - 2xj = yl + yl-y正惯性指数为2,秩为3.oior解该二次型的矩阵丸乂二00，,1010丿于是|2/-川=，(兄-2)(2 + 2),从而A的特征值为21 = 22 = 0,Z3 = 2,/l4=-2, 故二次型的规范形为y-y于是正惯性扌旨数为1,秩为2.* 1 0 0 -P解该二次型的矩阵为/= t ,-1 0 0 -b/L /l| = ji(A 2),从而 A的倚征值为 21 = 0,几2 = 1,心=込,入4 = _込故二次型的规范形为于是正惯性指数为2,秩为3.习题5-31.(1)-21解力二1 1-600_4丿-2 1口 11二_20,1 6-21 11 60 二38 0，I 52 -11| 2 1 -1=(/