第一章 平稳时间序列模型及其特征第一节 模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：Xt=Xt-1+t （2.1.1）常记作AR(1)。其中Xt为零均值（即已中心化处理）平稳序列，为Xt对Xt1的依赖程度，t为随机扰动项序列（外部冲击）。如果Xt 与过去时期直到Xt-p 的取值相关，则需要使用包含Xt1 ，Xt-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的一般形式为：Xt=1 Xt1+2 Xt2+p Xtp+t （2.1.2） 为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。设B为滞后算子，即BXt=Xt-1, 则B(Bk-1Xt)=BkXt=Xt-k B(C)=C(C为常数)。利用这些记号，（2.1.2）式可化为：Xt=1BXt+2B2Xt+3B3Xt+pBpXt+t从而有：（1-1B-2B2-pBp）Xt=t记算子多项式（B）（1-1B-2B2-pBP）,则模型可以表示成（B）Xt=t (2.1.3)例如，二阶自回归模型Xt=0.7Xt-1+0.3Xt-2+0.3Xt-3+t可写成（1-0.7B-0.3B2）Xt=t二、滑动平均模型（MA） 有时，序列Xt的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，Xt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即Xt=t-1t-1-2t-2-qt-q (2.1.4)此模型常称为序列Xt的滑动平均模型，记为MA(q)， 其中q为滑动平均的阶数，1，2q为参滑动平均的权数。相应的序列Xt称为滑动平均序列。使用滞后算子记号，（2.1.4）可写成Xt=（1-1B-2B2- qBq）qt=(B)t (2.1.5)三、自回归滑动平均模型如果序列Xt的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t-1t-1-2t-2-qt-q (2.1.6)简记为ARMA(p, q)。利用滞后算子，此模型可写为（B）Xt=(B)t （2.1.7）第二节 线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性首先介绍两个概念。 序列的传递形式：设Yt为随机序列，t为白噪声，若Yt可表示为：Yt=t+G1t-1+G2t-2+Gkt-k+=G(B) t 且，则称Yt具有传递形式，此时Yt是平稳的。系数Gk称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。 序列的逆转形式：若Yt可表示为：t= Yt-1 Yt-1-2 Yt-2-k Yt-k-=(B) Yt且，则称Yt具有逆转形式（或可逆形式）。一、 MA模型1. MA模型本身就是传递形式。2. MA(q)总是平稳的（由上一章的例），MA（）在系数级数绝对收敛的条件下平稳。3. MA(q)模型的可逆性条件。先以MA（1）(Yt=t-1t-1)为例进行分析。MA(1)的可逆性条件为：。如果引入滞后算子表示MA(1)，则Yt=（1-1B）t，可逆条件等价于(B)=1-1B=0的根全在单位圆外。对于一般的MA(q)模型，利用滞后算子表示有：Yt=（1-1B-2B2- qBq）t = (B)t其可逆的充要条件是：(B) =0的根全在单位圆外（证明见Box-Jenkins，P79）。在可逆的情况下，服从MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的AR模型：-1(B)Yt=tMA(q)的可逆域：使(B) =0的根全在单位圆之外的系数向量（1，2，q）所形成的集合。例：求MA(2)的可逆域。解：由，其特征方程为：该方程的两个根为：由二次方程根与系数的关系，有当MA（2）平稳时，根的模都必须大于1，因此必有：由根与系数的关系，可以推出如下式子：由于是实数，必同为实数或共轭复数。又因为，因此故反之，如果，且。那么从可以推出至少有一个，例如，假设，则根据可推出，由可以推出，从而。因此，的根在单位圆之外。（平稳域为一三角形）。二、 AR模型1. AR(P)模型本身就是一种逆转形式。2. 平稳性。先以AR(1)( Yt=1Yt-1+t),进行分析。AR(1)平稳的条件为，它等价于(B)=1-1B=0的根在单位圆外。3、在平稳的情况下，AR(1)有传递形式：（1-1B）Yt=t一般地，对于AR(P)模型：(B) Yt=t，序列Yt平稳的充要条件是：(B)=0的根全在单位圆外。此时，Yt有传递形式：Yt=-1(B) tAR(P)的平稳域：使(B)=0的根全在单位圆外的AR系数向量（1，2，p，）的全体形成的集合。练习：求AR(1)与AR(2)的平稳域。三、ARMA（p,q）模型1、 平稳性与传递形式首先考察ARMA(1，1)的平稳性: Yt1Yt-1=t1t-1 Yt平稳 11 （与AR（1）的平稳域相同） 此结论表明，ARMA（1,1）序列的平稳性仅与自回归系数有关，而与滑动平均系数无关。而且平稳条件与AR（1）的平稳条件相同。在平稳的条件下，Yt有上述形式的传递形式。一般地，服从ARMA（p,q）模型的序列Yt 平稳的充要条件是：（B）=0的根全在单位圆外。在平稳的条件下，Yt有传递形式 Yt=-1（B）（B）t2、 可逆性对于ARMA（1,1），假定可逆形式为t=（B）Yt=（11B2B2k B k ）Yt 代入ARMA（1,1）的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法，比较同次冥系数可得 t= Yt（11）Yt-11（11）Yt-21 k-1（11）Yt- k 根据前面的定义（可逆性定义），应有11。因此，ARMA（1,1）可逆的条件是11，它仅与滑动系数有关，而与自回归系数无关。而且可逆条件与MA（1）的可逆条件相同。一般地，服从ARMA（p,q）模型的序列Yt，其具有可逆性的条件是： （B）=0的根全在单位圆外。在可逆的条件下，Yt的逆转形式为 t=-1（B）（B）Yt3、 传递性与可逆性的重要意义 第三节 线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数一、 自相关函数1、 MA（q）模型的自相关函数设Yt服从:Yt=（B）t =t1t-1qt-q= jt-j , 0= 1 则Yt的s阶自协方差函数为： s =js+j2= 2(0s+1s+1+q-sq) (sq) （0= -1 ） 0 (sq)由上式，有0=2（1+12+q2）故Yt的自相关函数（ACF）为：s=s0=上式表明，MA（q）模型的记忆仅有q个时段，Yt的自协方差函数或自相关函数（ACF）q步截尾。这是MA（q）模型的典型特征。MA（q）的典型特征：s 在q步截尾。2、 AR（p）模型的自相关函数首先考察AR（1） (Yt=1Yt-1+t )的自相关函数的特征。 Yt的自协方差函数为：s=Cov(Yt, Yt+s) =1s-1从而 s=1s-1=12s-2=1s0自相关函数（ACF）为： s=s0=1s当11，s0,即自相关函数s随s的增大而衰减至零。这种现象称为拖尾性。对于一般的AR（p），序列的自相关函数的特征分析如下： 设 Yt=1Yt-1+2Yt-2+pYt-p+t=(B) Yt+t 则自协方差函数： s=1s-1+2s-2+ps-p这是一个关于的线性差分方程。 上式两边同除0，得关于自相关函数（ACF）的线性差分方程。 s=1s-1+2s-2+ps-p在AR（p）平稳的条件下，（B）=0有p个在单位圆外的根1、2，p 。根据线性差分方程解的有关理论，自相关函数（ACF）服从的线性差分方程(B)s=0的通解为： s=c11-s+ c22-s + cpp-s由于j1，因此s将按指数衰减（实根情形）或正弦振荡衰减（复根情形）。这种特性称为AR（p）的拖尾性。 AR（p）的典型特征是：s拖尾（衰减）3、ARMA（p,q）的自相关函数设ARMA（p,q）的形式为： Yt=1Yt-1+2Yt-2+pYt-p+t1t-1qt-q则Yt的s阶自协方差函数为：s =1s-1+2s-2+ps-p+E(Ytt+S) 1E(Ytt+S-1) qE(Ytt+S-q)当0sq时，t+S，t+S-1， ，t+S-q中有一部分位于t时刻以前（t+ s-it s-i0），Yt与这一部分外部冲击有关，从而s除了受自回归系数的影响外，还受一部分滑动平均系数的影响。当sq时，s-q0，t+s-qt，从而t+S，t+S-1， ，t+S-q全在t时刻以后，由于Yt与未来的外部冲击不相关，因此s中后面的项全为零。 s=1s-1+2s-2+ps-p它只同自回归系数有关。两边同除0，得s=1s-1+2s-2+ps-p (sq)即ARMA（p,q）的自相关函数（ACF）在sq时，与AR（p）的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。借用前面关于AR（p）的自相关函数特征的讨论可知，ARMA（p,q）的自相关函数（ACF）在q以后随s的增长按指数衰减或以正弦振荡衰减，即仍体现出拖尾特征。二、 偏自相关函数 从前面的自相关函数的讨论中可看出，自相关函数的截尾性是MA（q）的独有特征，但自相关函数的拖尾性却是AR（p）与ARMA（p,q）共有的特征，尽管ARMA（p,q）的自相关函数在q阶后开始按指数衰减或以正弦振荡衰减，但这还不足于区别AR（p）与ARMA（p,q），因为在实际应用中很难区分是否是从q阶开始衰减的。因此，还需寻找序列的其他统计特征。这就是偏自相关函数的特征。设Yt是一随机序列，所谓Yt的s阶偏自相关系数，是指扣出中间s-1个项的影响之后，Yt与Yt+s