5 二次曲线一、 圆圆的方程、圆心与半径方 程 与 图 形圆 心 与 半 径 x2 + y2 = R2 或 (参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角) 圆心 G(0,0) 半径 r = R(x - a)2+(y - b)2 = R2或 (参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角) 圆心 G(a, b) 半径 r = Rx2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0m2 + n2 qr2 + 2r (mcost + nsint) + q = 0(极坐标方程) 圆心 G(-m,-n) 半径 r2 - 2rr0cos(j - j0) + r02 = R2 (极坐标方程) 圆心 G(r0,j0) 半径 r = Rx2 + y2 = 2Rx 或 r = 2Rcosj (极坐标方程) 圆心 G(R, 0) 半径 r = R x2 + y2 = 2Ry 或 r = 2Rsinj (极坐标方程) 圆心 G(0,R) 半径 r = R 圆的切线圆x2 + y2 = R2 上一点M(x0, y0)的切线方程为 x0x + y0y = R2圆x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0上一点M(x0, y0)的切线方程为x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0两个圆的交角、圆束与根轴方 程 与 图 形公 式 与 说 明两个圆的交角C1x2 + y2 + 2m1x + 2n1y + q1 = 0C2x2 + y2 + 2m2x + 2n2y + q2 = 0两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角式中q表示两个圆C1和C2的交角，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.两个圆C1和C2正交条件为2m1m2 + 2n1n2 - q1 - q2 = 0圆束两个圆的根轴ClC1 + lC2 = 0(l为参数)或 (l + 1)(x2 + y2) + 2(m1 + lm2)x + 2(n1+ln2)y + (q1 + lq2) = 0根轴方程为 2(m1 - m2)x + 2(n1 - n2)y + (q1 - q2) = 0对l(l -1)的一个确定值，Cl表示一个圆.当l取一切值(l -1)时，Cl所表示的圆的全体，称为圆束.l = -1时，为一直线，称为两个圆C1和C2的根轴.根轴与C1和C2的连心线垂直，束中任一圆Cl的圆心在C1和C2的连心线上，且分连心线的比等于l.(a)如果C1和C2 相交于两点M1，M2，则束中一切圆都通过两交点M1，M2，它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a).(b)如果C1和C2切于一点M，则束中一切圆都在一点M相切，根轴就是在点M的公切线(图(b).(c)如果C1和C2不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c). 从点P作两个圆C1和C2的切线，具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其根心在无穷远处.反演设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M与它对应.使得满足下列两个条件： （i）O, M, M共线，（ii）OMOM = r2，这种点M称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.由于M和M的关系是对称的，所以M也是M的反演点.因r2 0，所以M和M都在O的同侧.M和M之间的对应称为关于定圆C的反演.取O为原点，则一切反演点M(x, y)和M(x,y)的对应方程为 反演具有性质： 图7.11不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.2通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.3通过反演中心的一条直线变为它自己.4不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.5反演圆变为它自己.6与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.7如果两条曲线C1，C2交于一点M，则经过反演后的曲线C1, C2必交于M的反演点M.8如果两条曲线C1, C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1, C2必在M的反演点M相切.9两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换.二、 椭圆1 椭圆的基本元素主轴(对称轴)顶 点A, B, C, D椭圆中心G焦 点F1, F2焦 距离 心 率压缩系数焦点参数(等于过焦点且垂直于长轴的弦长之半，即F1H)焦点半径r1, r2(椭圆上一点(x, y)到焦点的距离)r1 = a - ex，r2 = a + ex直 径PQ(通过椭圆中心的弦)图 7.2共轭直径二直径斜率为，且满足准 线L1和L2(平行于短轴，到短轴的距离为)2 椭圆的方程、顶点、中心与焦点方 程 与 图 形顶点中心焦点 (标准方程)或(参数方程，t为与M点对应的同心圆(半径为a, b)的半径与x轴正方向的夹角)顶点A, B(a, 0)C, D(0,b)中心G(0,0)焦点F1, F2(c,0) 或 (t同上) 顶点A, B(g a, h) C, D(g, h b)中心G(g, h)焦点F1, F2(g c, h) 顶点A, B(0, a) C, D( b, 0)中心G (0, 0)焦点F1, F2(0, c) ，e 0时取同号，k0时取异号)轴 长渐 近 线 (等轴双曲线) 顶 点 (当D0时