第二讲约数倍数C知识点拨板块一 因数倍数一、因数的概念与最大公因数0 被排除在因数与倍数之外1 求最大公因数的方法 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.例如：231 二 3X7 X11 , 252 = 22 x 32 x 7，所以(231,252) = 3x 7 = 21 ; 218 12短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘例如：3|9 6，所以(12,18) = 2x3 = 6 ；32辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数用辗转相 除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除 小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前 一个余数，直到余数是0为止那么，最后一个除数就是所求的最大公因数(如果最后的除数是1 ，那么原 来的两个数是互质的)例如，求 600 和 1515 的最大公因数：1515十600 = 2 315 ; 600-315 = 1 285 ; 315十285 = 1 30 ; 285十30 = 9 15 ; 30十15 = 2 0 ;所以1515和600的最大公因数是15 .2. 最大公.因数的性质 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数； 几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数； 几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以n .3. 求一组分数的最大公因数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最 b大公因数b；b即为所求.a二、倍数的概念与最小公倍数1. 求最小公倍数的方法 分解质因数的方法；例如：231 = 3x7 x 11 , 252 = 22 x 32 x 7，所以231,252= 2 x 32 x 7 x 11 = 2772 ； 短除法求最小公倍数；例如：3|9 6，所以I18,12= 2x3x3x2 = 36 ；32a x ba, b=-(a, b)2. 最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积 两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数.3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公因数b ；-即 a为所求例如：3,丄=卫呈=154 12 (4,12) 4 注意：两个最简分数的最大公因数不能是整数，最小公倍数可以是整数例如：丄,4 =M = 4 L 2 3(2,3 )三、最大公因数与最小公倍数的常用性质1 两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。如果m为A、B的最大公因数，且A = ma , B = mb，那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为mab ,所以最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系：甌| A Ba b AxB = maxmb = mxmab，即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积； 最大公因数是A、B、A + B、A - B及最小公倍数的因数.2 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即 (a,b)xa,b= axb ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。3 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a) 奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如： 5x6x7=210， 210就是567的最小公倍数b) 偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：6x7 x8 = 336，而6,7,8的最小公倍数为336十2 = 168性质(3)不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几 个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。”四、求因数个数与所有因数的和1 求任一整数因数的个数一个整数的因数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1后所得的乘积。如:1400严格分解质因数之后为23 x52 x7，所以它的因数有(3+1)x(2+1) x(1+1)=4x3x2=24个。(包括1 和 1400 本身)因数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过 的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。 难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少 个因数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值。”2 求任一整数的所有因数的和一个整数的所有因数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1 加至这个质因数的最 高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有因数的和。如：2 1 000 = 23 x 3 x 53 x 7，所以21000所有因数的和为(1+ 2 + 22 + 23)(1+ 3)(1+ 5 + 52 + 53)(1+ 7) = 74880此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。例 1】 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能 裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？例 2】 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物 中，三样水果各多少？例 3】 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？【例 4】 一个两位数有6个因数，且这个数最小的3 个因数之和为10，那么此数为几？ 12.20.28.32.45.50.52.63.68.75.76.78.92.98共14个【例5】用1门9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公因数.1+2+3+4+5+6+7+8+9=4545能被9整除1丄得中，其余的得差,2已知所以这326880个数都有因数911【例6】(西城区13中入学试题)一次考试，参加的学生中有1得优，丄得良, 73参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？1 一1-(1 + 1 +1 )=42732【例 7】 有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到那么这些小朋友最多有多少人？苹果每隔2人发一个，如果每人编上号码，号码间隔为3桔子每隔4人发一个，如果每人编上号码，号码间隔为5从第一个两种水果都拿到的人算起，下一个能两种水果都拿到的人的号码应比他多15个有10个两种水果都拿到的人所以，第10个两种水果都拿到的人比第一个两种水果都拿到的人的号码多15*9=135他们一共是136人这时在第1个人的一侧加上14人，第10个人的一侧也加上14个人，总数就是所求了【例 8】 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为 60，求这两个数240-60=460=3x4x5所以这两个数是3、5根据 AxB=（A,B）xA,B【例9】 已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公因数的105倍，那么a、b中较大的数 是多少？设两个数分别为km和kn,其中（m,n）=1,mn显然k为两个数的最大公约数最小公倍数为kmnkmn/k=m n=105=1 x105=3x35=5x21=7x15 a=105,b=1 或 a=35,b=3 或 a=21,b=5 或 a=15,b=7ka-kb=120 k 为整数逐一验证得：a=15,b=7, k=15两个数分别为：225和105那么a,b中较大的数等于（225）【例 10】在 1 到 100 中,恰好有6 个因数的数有多少个？【例11】（2008年仁华考题）1001的倍数中，共有个数恰有1001个因数.1001=7x11x13, 1001的倍数中必有a个7、b个11、c个13 （a、b、c正整数）的乘积。若恰有 1001个约数， 则必有（a+1）（b+1）（c+1）=1001。所以a、b、c可取6、10、13这三个值。故共有3x2x1=6个这样的数。板块二 质数合数1 质数与合数一个数除了 1 和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了 1 和它本身，还有 别的因数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字 只能是 1，3，7 或 9.考点：值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公因数只有 1 的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30 = 2x3x5 .其中2、3、5叫做30的质因数.又如12 = 2x 2x3 = 22x3 ,2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式.分 解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.3 唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n = pa, X pa2 X pa3 X X卩化其中为质数，123ka a a为自然数，并且这种表示是唯一的该式称为n的质因子分解式.12k例如.：.三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：210=2x3x5x7可知这三个数是5、6和7.4. 部分特殊数的分解111=3X37；1001=7X11X13；11111= 41X271；10001=73X137；1995=3X5X7X19；1998= 2X3X3X3X37； 2007 = 3 X 3 X 223 ； 2008 = 2 X 2 X 2 X 251；10101 = 3X 7 X13X 37 .5. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我 们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个 大于且接近p的平方数K2 ,再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为 质数.例如：149很接近144 = 12X12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.【例 12】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；