湖南省洞口县第二中学2023-2024学年高一下数学期末综合测试试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率是，则该阴影区域的面积是（ ）A3BCD2设非零向量，满足，则（ ）ABC/D3已知一个扇形的圆心角为，半径为1则它的弧长为（ ）ABCD4某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（ ）A41B42C43D445在等差数列中，已知，数列的前5项的和为，则（ ）ABCD6如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A这15天日平均温度的极差为B连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天C由折线图能预测16日温度要低于D由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于的天数7已知集合， ，则( )ABCD8已知数列满足若，则数列的第2018项为 （ ）ABCD9从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件，则的对立事件是（ ）A至多有一件次品B两件全是正品C两件全是次品D至多有一件正品10已知，若，则等于（ ）ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为_.12一组数据2，4，5，7，9的众数是2，则这组数据的中位数是_.13若则 _14已知数列的通项公式，则_15在中，则_16若点为圆的弦的中点，则弦所在的直线的方程为_.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知函数的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合.（1）求和的值；（2）若函数，求函数的单调递减区间及图象的对称轴方程.18已知.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在闭区间上的最小值并求当取最小值时，的取值.19已知数列满足：，.（1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）记（），用数学归纳法证明：，20某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2所学校均为小学的概率21在平面直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程;若不存在，请说明理由；（2）求证:过A，B，C三点的圆过定点，并求出该定点的坐标参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】利用几何概型的意义进行模拟试验，即估算不规则图形面积的大小【详解】正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，又，.故选：B【点睛】本题考查几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系.2、A【解析】根据与的几何意义可以判断.【详解】由的几何意义知，以向量，为邻边的平行四边形为矩形，所以.故选：A.【点睛】本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.3、C【解析】直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果.【详解】由扇形弧长公式得：本题正确选项：【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.4、A【解析】由系统抽样先确定分组间隔，然后编号成等差数列来求所抽取号码【详解】由题知分组间隔为以，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为.故选：A.【点睛】本题考查系统抽样，掌握系统抽样的概念与方法是解题基础5、C【解析】由，可求出，结合，可求出及.【详解】设数列的前项和为，公差为，因为，所以，则，故.故选C.【点睛】本题考查了等差数列的前项和，考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.6、B【解析】利用折线图的性质，结合各选项进行判断，即可得解【详解】由某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，得：在中，这15天日平均温度的极差为：，故错误； 在中，连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天，故正确； 在中，由折线图无法预测16日温度要是否低于，故错误； 在中，由折线图无法预测本月温度小于的天数是否少于温度大于的天数，故错误 故选【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题7、D【解析】依题意，故.8、A【解析】利用数列递推式求出前几项，可得数列是以4为周期的周期数列，即可得出答案.【详解】，数列是以4为周期的周期数列，则.故选A .【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.9、B【解析】根据对立事件的概念，选出正确选项.【详解】从四件正品、两件次品中随机取出两件，“至少有一件次品”的对立事件为两件全是正品.故选：B【点睛】本小题主要考查对立事件的理解，属于基础题.10、A【解析】根据向量的坐标运算法则,依据题意列出等式求解.【详解】由题知:,因为,所以,故,故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】设出底面圆的半径，用半径表示出圆锥的母线，再利用表面积，解出半径。【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线为，则底面圆面积为，周长为 ，则 解得 故填2【点睛】本题考查根据圆锥的表面积求底面圆半径，属于基础题。12、【解析】根据众数的定义求出的值，再根据中位数的定义进行求解即可.【详解】因为一组数据2，4，5，7，9的众数是2，所以，这一组数据从小到大排列为：2，2，4，5， 7，9，因此这一组数据的中位数为：.故答案为：【点睛】本题考查了众数和中位数的定义，属于基础题.13、【解析】因为,所以=.故填14、【解析】将代入即可求解【详解】令，可得.故答案为：【点睛】本题考查求数列的项，是基础题15、【解析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值【详解】由，结合正弦定理可得，故设，()，由余弦定理可得，故.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题16、；【解析】利用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦【详解】圆标准方程为，圆心为，是中点，即，的方程为，即故答案为【点睛】本题考查垂径定理圆中弦问题，常常要用垂径定理，如弦长（其中为圆心到弦所在直线的距离）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）减区间为，对称轴方程为【解析】(1)先根据平移后周期不变求得,再根据三角函数的平移方法求得即可.(2)根据(1)中,代入可得,利用辅助角公式求得,再代入调递减区间及图象的对称轴方程求解即可.【详解】（1）因为函数的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合,所以.所以,因为,所以.（2）由（1）,所以,.令,解得所以函数的单调递减区间为.令,可得图象的对称轴方程为.【点睛】本题主要考查了三角函数的平移运用以及辅助角公式.同时也考查了根据三角函数的解析式求解单调区间以及对称轴等方法.属于中档题.18、（1）；（2），【解析】(1)先化简,再求最小正周期;(2)由,得,再结合的函数图像求最小值.【详解】(1),即,所以的最小正周期是;(2)由(1)知,又由,得,所以当时,的最小值为,即时,的最小值为.【点睛】本题考查三角恒等变换,考查三角函数图像的性质应用,属于中档题.19、（1）证明见解析，；（2）见解析【解析】（1）定义法证明：；（2）采用数学归纳法直接证明（注意步骤）.【详解】由可知：，则有，即，所以为等差数列，且首相为，公差，所以，故；（2） ，当时，成立；假设当时，不等式成立则：；当时，因为 ，所以，则，故时不等式成立，综上可知：.【点睛】数学归纳法的一般步骤：（1）命题成立；（2）假设命题成立；（3）证明命题成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.20、 (1)3,2,1 (2)【解析】(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1(2)在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15种从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3种所以P(B)21、（1）存在，（2）证明见解析，圆方程恒过定点或【解析】（1）将曲线方程中的y1，得x2mx+2m1利用韦达定理求出C，通过坐标化，求出m得到所求圆的方程（2）设过A，B，C的圆P的方程为（xa）2+（yb）2r2列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可【详解】由曲线：yx2mx+2m（mR），令y1，得x2mx+2m1设A（x1，1），B（x2，1），则可得m28m1，x1+x2m，x1x22m令x1，得y2m，即C（1，2m）（1）若存在以AB为直径的圆过点C，则，得，即2m+4m21，所以m