第23讲 和倍问题教学目标l 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题l 掌握寻找和倍的方法解决问题知识梳理 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题它的结构可用下图来表达： 倍数（小数）和 几倍数（大数）数量关系式：两数和（倍数+1）=小数（1倍数） 小数倍数=大数（几倍数） 两数和小数=大数（几倍数）和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是： 和(倍数+)=小数 小数倍数=大数 或 和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求份数： 份数(倍数)=两数差.解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。典例分析 例1、小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的倍.爷爷比小华大多少岁？【解析】小华：（岁）， 爷爷：（岁）， （岁）或（岁）.例2、一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？【解析】先求出长方形长和宽的和：362=18（厘米） 把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应 的就是3份，所以长方形的宽是：18（2+1）=6（厘米）长是：62=12（厘米）这个长方形的面积是：126=72（平方厘米）例3、师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？【解析】引导学生画图时，一定要注意“多5个”的画图方法，并找和与份数之间的关系从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作1份数，师傅加工的个数就比3份数还多个，如果师傅少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(105-5)个，这样这道题就转化为例5类型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.列式：如果师傅少做5个，师、徒共做：(个)， 徒弟做了：(个),师傅做了：(个)例4、维尼熊和跳跳虎去摘苹果.维尼熊爬上树去摘，跳跳虎在地上跳着摘.跳跳虎每摘7个，维尼熊只能摘4个.维尼熊摘了80分钟，跳跳虎摘了50分钟就累了，不摘了.他们回来后数了一下，共摘2010个苹果，那么其中维尼熊摘的有_个.【解析】依题意有相同时间内若跳跳虎摘了7份，则维尼熊摘了4份。所以最终维尼熊摘了480=320份，跳跳虎摘了750=350份。故每份有2010（320+350）=3个，那么维尼熊摘了3320=960个。例5、二班的图书角里有故事书和连环画共本，如果故事书拿走本后，故事书的本数就是连环画的倍.原有连环画和故事书各有多少本？【解析】从线段图可以看出，如果故事书拿走本以后，则正好是连环画的倍.这时故事书与连环画总数应减少本，列式成 (本)，正好是连环画本数的()倍.（1）如果故事书拿走本，总本数为：(本)（2）现在连环画与故事书的倍数和为：（3）连环画有：(本)（4）故事书有：(本)例6、实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗?【解析】已知两校的人数和是2346人，而两校人数的差没有直接告诉我们只要求出两校人数的差，就能解决问题了从图上可以看出，实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等 在实验一小人数没有增加，实验二小人数没有减少之前，两校的人数相差：14688234 (人)，利用(和差)2大数，就可以求出实验二小实际的人数： 实验二小：(234614688)21290(人) 实验一小：234612901056(人),本题也可以用和倍方法解例7、两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？【解析】把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（33=）9倍。所以，乙组人数为：40（9-1）=5（人）；参加义务劳动的学生共有：5（1+3）=20（人）。例8、甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？【解析】甲、乙两水池共有水：26001200=3800（立方米）甲水池剩下的水：3800（4+1）=760（立方米）甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）经过的时间（分钟）：18402380（分钟）。例9、大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上2级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级台阶？【解析】大头儿子踏过的台阶数是：（级），小头爸爸踏过的台阶数是（级），父子俩每（级）台阶要共同踏1级台阶，共重复踏了（级），所以父子俩共踏了：（级）例10、一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？【解析】妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作为1倍数，已知三口人年龄和是72岁，那么，孩子的年龄为：(岁)，妈妈的年龄是：(岁)，爸爸和妈妈同岁为32岁例11、学校买来篮球、足球、排球共个，其中篮球的个数是足球的倍排球比足球多个问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？【解析】从线段图上可以看出，把足球的个数看作份数，篮球的个数是份数，如果排球少买个，也是份数，这时三种球一共()个，总份数是()，就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球的个数如果排球减少个， 三种球一共多少个？(个) 足球多少个？(个) 篮球多少个？(个) 排球多少个？(个)例12、小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多只，比白鸡少只白鸡的只数是黄鸡的倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共有多少只? 【解析】（1）黄鸡多少只？(只) （2）白鸡多少只？(只) （3）黑鸡多少只？(只) （4）白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？ (只)例13、有100块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，三位小朋友各分得多少块糖?【解析】此题从两个数量扩展到三个数量已知甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，从线段图上可以清楚地看出：甲比丙多分了358(块)如果甲少拿7块，乙少拿5块，那么糖的总数就要减少8513(块)，总共就是1001387(块)87块相当于丙所有的糖块数的3倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖块的数量丙：100(35)5329(块)；乙：29534(块)；甲：34337(块)。例14、甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？我们把丙数看作一份，画出线段图如下：【解析】假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，则这时候三个数的总和为：183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。所以，一份数即丙数为：1806=30；乙数为：302-4=56；甲数为：303+7=97。例15、超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖最后巧克力糖全部装完，水果糖还剩下170颗请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？【解析】由题意，如果每袋里装3颗巧克力糖和9颗水果糖，则只剩下10颗水果糖；现在每袋里装了3颗巧克力糖和7颗水果糖，结果剩下了170颗水果糖由此可以算出总的袋数为：（袋），因此水果糖总数为（颗），巧克力糖总数为（颗）实战演练 课堂狙击1、果园里有梨树和苹果树共棵，苹果树的棵数是梨树的倍，苹果树比梨树多多少棵？【解析】把梨树的棵数看作份数，苹果树的棵数就是份数，棵就相当于(份数，分别求出梨树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了.方法一：梨树：(棵)，苹果树：(棵)，苹果树比梨树多：(棵)方法二：梨树：(棵)，苹果树比梨树多：(棵)2、实验小学三、四年级的同学们一共制作了件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？【解析】已知四年级同学制作的航模件数是三年级的倍，可以想到三年级同学制作的航模件数是倍数两个年级共制作了件，这件就相当于倍，这样就可以求得倍数三年级同学的制作件数是： (件)再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关系，求出四年级同学制作航模的件数是：(件)或(件)。3、学校买来一些乒乓球和羽毛球共个，乒乓球的个数是羽毛球的倍.买来的乒乓球和羽毛球各多少个？【解析】根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作份数，乒乓球的个数就是份数，个就相当于 份数，这样就可求出份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘就是乒乓球的个数. 羽毛球有：，乒乓球有：(个)4、甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？【解析】设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：乙班：160（3+1）=40（本）甲班：403=120（本）或 160-40=120（本）验算：12040=160（本） 12040=3（倍）5、水浒传中的将中，男将是女将的倍，男将共有 名，女将共有 名。【解析】名女将，名男将。6.光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？【解析】把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。女生人数：（76040）（31）=200（人）男生人数：2003-40=560（人）或 760-200=560（人）验算：560200=760（人）（560+40）200=3（倍）。答：男生有560人，女生有200人。7、北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵数比黄花的倍少30朵。问两种花各有多少朵？【解析】我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。所以黄花朵数为：（300+30）（1+2）=110（朵）。红花朵数为：300-110=190（朵）8、工