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2021年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破专题3.7 导数的综合应用(选填题)目录一、题型全归纳题型一 利用导数求解函数的零点或方程的根的问题【题型要点】利用导数研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的正负,函数单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围(2)数形结合法求解零点对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图数形结合确定其中参数的范围(3)构造函数法研究函数零点根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求解解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法. 【例1】(2020汉中模拟)若函数与满足:存在实数t,使得,则称函数为的“友导”函数已知函数为函数的“友导”函数,则的取值范围是()A(,1) B(,2C(1,) D2,)【例2】(2020江西七校第一次联考)已知函数yf(x)是R上的可导函数,当x0时,有f(x)0,则函数F(x)xf(x)的零点个数是()A0B1C2 D3题组高效训练突破1方程x36x29x100的实根个数是()A3 B2 C1 D02.(2020贵阳摸底)函数f(x)exax32x2在(0,)上只有一个零点,则a的值为()A4 B4ln 23C2 D5ln 243.(2020江西赣州模拟)若函数f(x)aexx2a有两个零点,则实数a的取值范围是()A.BC. D4.已知f(x)1,过点(k,0)与f(x)相切的直线有且仅有3条,则k的取值范围是()A(,2e2) B(,2e2C(,4e2) D(,4e25.已知函数f(x)的定义域为1,4,部分对应值如下表:x10234f(x)12020f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示当1a2时,函数yf(x)a的零点有 个6若函数f(x)1(a0)没有零点,则实数a的取值范围为 7.对于定义在R上的函数f(x),若存在非零实数x0,使函数f(x)在(,x0)和(x0,)上均有零点,则称x0为函数f(x)的一个“折点”现给出下列四个函数:f(x)3|x1|2;f(x)lg |x2019|;f(x)x1;f(x)x22mx1(mR)则存在“折点”的函数是_(填序号)题型二 利用导数研究不等式的有关问题【题型要点】1利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题若证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)f(x)g(x),如果F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)0,由减函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)g(x)恒成立F(x)min0.(4)任意x1M,任意x2N,f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max;任意x1M,存在x2N,f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min;存在x1M,存在x2N,f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min;存在x1M,任意x2N,f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max. 3.两个经典不等式的活用逻辑推理是得到数学结论,构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证利用两个经典不等式解决其他问题,降低了思考问题的难度,优化了推理和运算过程(1)对数形式:x1ln x(x0),当且仅当x1时,等号成立(2)指数形式:exx1(xR),当且仅当x0时,等号成立进一步可得到一组不等式链:exx1x1ln x(x0,且x1)【例1】(2020渭南模拟)设函数f(x)(xa)2(3ln x3a)2,若存在x0,使f(x0),则实数a的值为()A. B. C. D1【例2】已知函数f(x),则yf(x)的图象大致为() 【例3】若不等式2xln xx2ax3对x(0,)恒成立,则实数a的取值范围是()A(,0) B(,4C(0,) D4,)题组高效训练突破1(2020汕头一模)函数f(x)ln xa的导数为f(x),若方程f(x)f(x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为()A(1,)B(0,1)C(1,) D(1,)2(2020河南豫南九校联考)设定义在(0,)上的函数f(x)的导函数f(x)满足xf(x)1,则()Af(2)f(1)ln 2Bf(2)f(1)1 Df(2)f(1)Cx0(3,),f(x0)1Df(x)min(0,1)5.(2020安徽名校联考)关于函数f(x)ln x,有下列几个命题:x2是f(x)的极大值点;函数yf(x)x有且只有1个零点;存在正实数k,使得f(x)kx恒成立;对任意两个正实数x1,x2,且x1x2,若f(x1)f(x2),则x1x24.其中正确的命题有()A B C D6(2020吉林白山联考)设函数f(x),若不等式f(x)0有正实数解,则实数a的最小值为_7若对任意a,b满足0abt,都有bln aaln b,则t的最大值为 8.已知函数f(x)x|x2a|,若存在x1,2,使得f(x)2,则实数a的取值范围是_9已知函数f(x)xln xx2,x0是函数f(x)的极值点,给出以下几个命题:0x0;f(x0)x00.其中正确的命题是_(填出所有正确命题的序号)10已知函数f(x)的定义域是1,5,部分对应值如表,f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示,x10245f(x)121.521下列关于函数f(x)的命题:函数f(x)的值域为1,2;函数f(x)在0,2上是减函数;如果当x1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数yf(x)a最多有4个零点其中所有正确命题的序号是_题型三 构造法求f(x)与f(x)共存问题类型一 f(x)g(x)f(x)g(x)型【题型要点】(1)对于不等式f(x)g(x)0(或0),构造函数F(x)f(x)g(x)(2)对于不等式f(x)g(x)0(或0),构造函数F(x)f(x)g(x)特别地,对于不等式f(x)k(或k)(k0),构造函数F(x)f(x)kx.(3)对于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)0(或0),构造函数F(x)f(x)g(x)(4)对于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)0(或0),构造函数F(x)(g(x)0)【例1】定义在R上的函数f(x),满足f(1)1,且对任意的xR都有f(x),则不等式f(lg x)的解集为_【例2】设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f(x)g(x)f(x)g(x)0,且g(3)0,则不等式f(x)g(x)0的解集为_类型二 xf(x)nf(x)(n为常数)型【题型要点】(1)对于xf(x)nf(x)0型,构造F(x)xnf(x),则F(x)xn1xf(x)nf(x)(注意对xn1的符号进行讨论),特别地,当n1时,xf(x)f(x)0,构造F(x)xf(x),则F(x)xf(x)f(x)0.(2)对于xf(x)nf(x)0(x0)型,构造F(x),则F(x)(注意对xn1的符号进行讨论),特别地,当n1时,xf(x)f(x)0,构造F(x),则F(x)0.【例3】设f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(1)0,当x0时,xf(x)f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,)C(,1)(1,0) D(0,1)(1,)【例4】设函数f(x)在R上的导函数为f(x),且2f(x)xf(x)x2,则下列不等式在R上恒成立的是()Af(x)0 Bf(x)0Cf(x)x Df(x)x类型三 f(x)f(x)(为常数)型【题型要点】(1)对于不等式f(x)f(x)0(或0),构造函数F(x)exf(x)(2)对于不等式f(x)f(x)0(或0),构造函数F(x).【例5】已知f(x)在R上的可导函数,且xR,均有f(x)f(x),则有()Ae2 019f(2 019)f(0),f(2 019)e2 019f(0)Be2 019f(2 019)f(0),f(2 019)e2 019f(0)Ce2 019f(2 019)f(0),f(2 019)e2 019f(0)De2 019f(2 019)f(0),f(2 019)e2 019f(0)【例6】已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)2f(x)
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