第九章 含参变量积分 基本概念与主要结果一 含参量正常积分1 定义设为矩形区域上的二元函数，若，一元函数在上可积，则其积分值是在上取值的函数，记为，即称之为含参量的有限积分，称为参变量。更一般地，我们有如下含参量积分： 其中为上的连续函数。2 分析性质（1）连续性 设二元函数在区域上连续，其中为上连续函数，则函数在上连续。（2）可微性 若函数与在上连续，则在上可微，且（3）可积性 若在上连续，则和分别在和上可积。此说明，在连续的假设之下，同时存在两个求积顺序不同的积分：与为了书写简便起见，上述两个积分分别写作：与统称为累次积分。（4）若在上连续，则=一、 参量的常积分1、 一致收敛性及其判别法定义1 设函数定义在无界区域上，若对每一固定的，反常积分都收敛，则它的值是在上取值的函数，记之为，则有， （1）称（1）式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，简称含参量无穷积分。定义2（一致收敛）若含参量积分（1）满足：，当时，有，则称含参量积分（1）在上一致收敛于，或简称在上一致收敛。判别法则定理1（柯西准则）含参量无穷积分（1）在上一致收敛的充要条件是：，有定理2（魏尔斯特拉斯M-判别法）设有函数，使得若收敛，则在上一致收敛。定理3 含参量反常积分（1）在上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列（其中），函数项级数在上一致收敛。（参具体华师大P181）定理4（狄利克雷判别法）设（1） 对一切实数，含参量反常积分对参量在上一致有界，即,有(2)对每个，函数关于是单调递减的且当时，对参量，一致收敛于0，则含参量反常积分在一致收敛。定理5（阿贝尔判别法）设（1） 在上一致收敛；（2） 对每一个，函数为的单调函数，且对参量，在上一致有界，即。1则含参量反常积分在一致收敛。2、 含参量反常积分的性质定理1（连续性）设在上连续，若在上一致收敛，则在上连续。定理2（可微性）设，在区域上连续，若在上收敛，在上一致收敛，则在可微，且定理3（可积性）设在上连续，若在上一致收敛，则在上可积，且=定理4 设在上连续，若（1）关于在任何闭区间上一致收敛，关于在任何闭区间上一致收敛；（2）积分与中有一个收敛，则另一个也收敛，且两者相等。定理5 关于含参量的无界函数反常积分与含参量无穷积分十分类似，从略。二、 欧拉积分含参量积分分别称为第一类和第二类积分（又称贝塔（）函数与格马（）函数），它们具有下列性质：1 函数（1）在定义域内连续且可导；（2）递推公式：2 函数（1） 在定义域内连续；（2） 递推公式：（3） 对称性：3、两者之间的关系4、注意函数与函数的其他表现形式 例题选讲一、基本题例1求函数的导数（）解：使得，显然被积函数与在闭区域上都连续，因此，有例2 证明：若函数在区间连续，则函数是微分方程的解，并且满足条件。证明：设，则在上连续，因此有即是微分方程的解，显然例3 证明：若函数存在二阶导数，函数存在连续导数，则函数是弦振动方程的解。证：由题设知均存在，且有同理：于是例4 求解：记，由于和的连续函数，因此在 处连续，所以。例5 计算积分 （武汉大学）解：考虑含参量积分显然，且在上满足积分号下可微定理条件，于是由于所以 从而又，所以例6 证明无穷积分在上一致收敛。证法一（定义法）设，则有已知，所以于是，要使不等式成立，只需，取，则当时，有即无穷积分在一致收敛。此法常用积分是可计算的或是可估值的。证法二（优函数法），有，而无穷积分收敛，故原无穷积分在上一致收敛。例7 证明：含参量无穷积分在上一致收敛（），但在内不一致收敛。证：由于，有而收敛，故，当时，有取，则当时，有，从而有故在上一致收敛。下证在内非一致收敛，即，有事实上，由（1）知而收敛于，故对任意的正数和，总存在及，使得，现取，由上式立得注：。例8，证明无穷积分在上一致收敛。证：由于收敛，且不含参量，所以关于是一致收敛，又关于是单调的，且，即一致有界，由阿贝尔判别法知其在上一致收敛。例9 证明：若在上连续，又在上收敛，但在处发散，则在上非一致收敛。（北航）证：假设积分在上一致收敛，则对于任给，当时，对一切有由题设知在上连续，所以也是的连续函数，因此，在上式中令得：当时，此说明在处收敛，这与假设矛盾，故非一致收敛。例10 计算解：因为所以 （2）由于，而收敛，故在一致收敛，又在上连续，因此（2）式可交换积分顺序，于是 例11计算解：在上例中令，则得 （3）由阿贝尔判别法知上述含参量积分在上一致收敛（例8），故在上连续，且由（3）式可得特别地，当时，（狄利克雷积分）注：此题中被积函数不存在初等函数的原函数（时），所以不能直接求这个无穷积分，为此在被积函数中引入一个“收敛因子”。这是一种较为有效的方法，应于以足够的重视。例12 计算。解：无穷积分显然收敛，且是偶函数，因此例13 试计算，从而计算。解：由函数与函数之间的关系立得。又从而。这样例14 计算解：令，则，于是例15 证明：若，有证：令，从而有例16 证明尤拉等式证：令，则，于是从而二、提高题1、积分号下可微性与可积性例1 设，其中，而为可微函数，求（华中师大）解：当时， =于是当时，从而同理，当时，因此注：事实上在与点处的导数应由左右导数定义求之，其结果是一样的。例2 设，求证：.证：。因此只需证明：。事实上（验证条件）,而=代入立得。例3设函数在内有连续的二阶偏导数，且。而的一阶数对任意固定的，是的以为周期的函数。证明：函数（常数），（武汉大学）证明：记，则及在均连续，因此，=其中最后一步是由于和均是以为周期的函数。例4计算积分解法一（积分号下求导）假设该含参量积分能积分号下求导，则由此从到，并注意到得，因此，本小题的关键在于验证含参量适合积分号下求导的条件。事实上使得，在上，由于补充定义 ，易知函数在上连续，此外，补充定义 ，则在上亦连续，从而在上满足积分号下可微分，由的任意性知命题为真。解法二（积分号下可积分）已知从而仿上补充定义则可得例5 计算解：由于所以记。补充定义容易验证在上连续，因此而所以注：也可用分部积分法求之：解之得例6计算解：记，则。在矩形区域上和均连续，因此令，则，从而积分得 （1）其中为积分常数，下求常数，在（1）中取，则得 （2）因此只需求出即可，由已知条件得记。容易验证它满足积分号下可微定理的条件，从而又，所以由此得即，将其代入（2）得，从而解法二 记，则，先求出。积分得， 为积分常数令得，于是令得2、一致收敛性（定义法，柯西收敛准则，M-判别法，和判别法）例7，证明：在上一致收敛，但在内非一致收敛。（南开大学）证：于是，有，从而，有，即在上一致收敛。在上，由前面知：，有对任意固定的，上式当时极限为，于是，有由定义知其非一致收敛。例8证明：在上一致收敛，在上非一致收敛。证：=+对来说，有而收敛，故一致收敛。同理在上一致收敛，从而在上一致收敛。，有=，即非一致收敛，从而非一致收敛。例9试证：在上非一致收敛，证明： 因无穷多次变号，要估计 是困难的。而Cauchy 准则告诉我们，只要考虑充分远处有限区间上的积分即可。事实上，有而时，严格单增趋于1，因此，无论多么大，只要充分大，当时，有取，当时，随着严格趋于1，因此，只要充分小，便有于是这样便有 由Cauchy准则知其非一致收敛例10 试证：在上非一致收敛证明：令 ，则有，从而因此原积分在上非一致收敛（用判别法易知其收敛）例11 判断是否一致收敛。解：为奇点，且而（也是奇点）故积分收敛，从而原积分一致收敛（）。注：以前此研究的含参量积分中的参量的取值为一区间，此题中参量的取值为正整数。例12 判断在（有限区间）上是否一致收敛。解：，由分部积分法得：由M判别法易得右端两个积分关于均一致收敛，非凡第一项一致收敛于零，因此原积分在上一致收敛。例13 证明：关于一致收敛。证：这是一个具有无穷多个奇点的函数，它可转化为令，则以为优函数知上式右端两个积分在上均一致收敛，故在上一致收敛。例14 试证积分在上一致收敛。证：，对于有且收敛，故由M判别法知在上一致收敛。对于，令，则，于是其中一致有界即一致收敛于，由判别法知其在上一致收敛。例15 设函数在时连续，积分在时收敛，试证该积分在上一致收敛。（河北师大）证：可能为其奇点，该积分可化为其中，而收敛（一致收敛），在关于单调一致有界，由判别法知其一致收敛。对于，收敛（一致收敛）在关于单调一致有界，由知其一致收敛。综合之，命题为真。例16 证明：在上一致收敛()，并计算（吉林大学）证：由于对单调，且，因此，由定理，只需证明积分在上一致收敛，由判别法立明，其值为3 含参量反常积分的极限与连续。例17 设是上的连续函数列，满足条件：（1） 在上，且收敛；（2） 在任何有限区间上，序列一致收敛于；试证明：（复旦大学，同济大学，华中师大）证：只需证明：当时，有事实上，由可得，从而有于是，由收敛知，当时，有对此固定的，已知，在上一致收敛于，所以，当时从而可得例18 确定函数的连续范围（四川大学）解：是其可能的奇点，可化为其中以0为奇点，且，因此当，即时，收敛，对于，当时收敛，故原积分当且仅当时收敛，即的定义域为其次，使得，当时，有且收敛，所以在上一致收敛。同理可证在也一致收敛，故在上一致收敛，由被积函数的连续性知在连续，从而在内连续。例19 若存在，证明函数在上一致连续。（吉林大学，湘谭大学，四川师大）证：要证在上一致连续，即证：当时事实上，,有由收敛知，当时，有对此，取，则当时，有 综合之后可得：4、含参量反常积分积分号下可微与可积（1） 积分号下可微的Leibniz法则例20 设（1） 求；（2）计算。解：是其奇点，可化为而 且均收敛，故原积分收敛（一致收敛）其次，且而收敛，故关于一致收敛，此外，被积函数及其导函数是连续的，因此例21 设，试证：（1）；（2）在内单调递减。（上海师大）证：（1）由法则得（2）故在单