输油管的布置摘要：本文主要解决的是两炼油厂到车站输油管线的最佳设置问题.将两炼油厂和车站看成三个点，建立平面直角坐标系.在坐标系中，三者间铺设输油管线问题转化为三点连接问题.在各种铺设费用相同时，则转化为三点间连接线段最短问题.铺设费用不同时，则转化为线段加权的最短问题.首先，我们探讨了两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间的距离的各种不同情形.建立了四种不同的模型，从而来确定站点的位置及管线的铺设方案.对无共用管线时利用简单的几何原理和一元函数导数给出了对应的最优设计方案. 针对有共用管线时，首先证明了两厂管线交接点的位置范围，并且利用多元函数极值的必要条件，平面几何的性质以及三角函数的性质，给出了对应的输油管线的最佳设计方案. 对于问题二和问题三存在城郊区别（即拆迁和工程补偿等附加费用）及单位铺设管线费用不同等较为复杂的情况下，建立了统一的数学模型，采用了一些初等方法，求出了问题二和问题三的准确的通式，从而可用于非技术人员的一般性实际应用，同时我们通过Matlab软件编程验证了结论的正确性，并进行了相应的误差分析. 关键词：管线铺设 偏导数 三角函数 平面几何一、 问题提出某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油. 由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法. 1、针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的不同情形，提出设计方案. 在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形. 2、两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示. 图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20. 图若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元. 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算. 估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420请为设计院给出管线布置方案及相应的费用. 3、在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管. 这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上. 请给出管线最佳布置方案及相应的费用. 二、符号说明：厂所在的位置；：厂所在的位置；：两厂管线交接点；：点在轴上的投影；：厂到铁路的距离即线段的长度；：厂到铁路的距离即线段的长度；：厂到城郊区分界线的距离；：两厂在铁路线上垂直距离；：两厂共用管线的长度；：厂单独管线的长度；：厂单独管线的长度（含城区和郊区）；：厂在城区单独管线的长度；：两厂共用管线铺设费用（万元/千米）；：厂管线铺设费用（万元/千米）；：厂管线铺设费用（万元/千米）；：城区拆迁和工程补偿等附加费用； ：总费用.三、模型假设1、忽略输油管材料的接缝拆边以及切割损耗费用. 2、在计算总费用时只考虑铺设管线费以及城区拆迁和工程等附加费，而不考虑其他费用. 3、把两家炼油厂和车站看做三个点记为，以铁路线为轴，厂到铁路的垂直线为轴，与轴交点为原点，建立平面直角坐标系如图.图四、模型的建立分析与求解4.1模型分析：由于平面中两点直线距离最短，从而同种管线（A、B厂单独管线和共用管线）在同一个区域内（城区或郊区）不会有折线，即在同一区域内同种管线只需考虑直线段. 根据直线外一点到该直线垂线段最短，从而一定垂直轴. 我们的建模总思路是：在无共用管线情况下，分别建立非共用管线费用相同的模型与非共用管线费用不同的模型，在有共用管线情况下同样分别建立了共用管线费与非共用管线费相同的模型，共用管线费与非共用管线费不同的模型.无无共用管线共用管道无共用管道无共用管线非共用管线费相同模型无共用管线非共用管线费不同模型有共用管线共用管线费与非共用费相同模型有共用管线共用管线费与非共用费不同同 模型.4.2模型的建立和求解模型:两厂无共用管线且费用相同即图由于两厂无共用管线且单位管线铺设费用相同，从而总费用变为求与和的最小值，即线段的和最小，于是可以建立模型：定理1.设平面上的点位于直线的同一侧，是关于直线的对称点，交于点，是直线上任意一点，则是直线上所有连接，两点间线段最短的点，即.图证明：由于是关于直线的对称点，故，在中，由于两边之和大于第三边，于是有从而即.模型求解：由于无共用管线且费用相同，从而模型求解等价为求解的最小值，由定理1，作关于轴对称点，连接交轴于点，则为所求 . 图直线的方程：，令，可得 ，则于是总费用为：即：车站设在点，总费用为模型：无共用管线但两厂管线铺设费用不同即建立模型；模型求解：O图设车站建立在点，则，于是就得到总费用是关于的一元函数，求导可得，再令，得设即 模型 有共用管线且铺设费用相同，即建立模型图设点坐标为，则，. 不妨设，作轴，垂足为，轴交于，从而仅需证点只可能落在矩形中，下面我们分以下四种情况证明； 证明图（反证法） 设在轴左边，则总费用为作垂直轴于，连接，显然， 在中，斜边，又因为是钝角三角形，从而，于是，也就是说若两厂管线交接点建在点的费用比建在轴左边的少，即点不可能建在轴左边所以. 证明 ，证明类似于情况. 证明 .图（反证法） 设点在直线上方，作交于点，交于点，连接，在中，斜边，在中，从而显然两厂输油管线连接在点的费用比在点少，故. 证明.图（反证法） 设点位于轴下方，连接，在三角形中，从而，所以从而，两厂输油管线的连接点建在点下的费用高. 综上所述：得到站点的位置范围，. 模型求解：图设点的坐标为,过作平行轴的直线交轴于点，交于点，令显然有，则设，则要使得在点取得极值，则必须有即： 得： 由可得：由知： 从而得： .则 即 在前面情况中证明可知，即时，有共用管线，此时油管铺设费用为：当时，取无共用管线为费用更省，从而可参考模型.模型 有共用管线且共用管线与非共用管线费用不同（即）类似于模型，设坐标，可类似证明得到 .类似于模型求解，则目标函数化简为：图则 要使在点取极值，则必须满足：即 由知 ，由知 ， 从而于是： 类似于模型解，必须大于等于0，若，即则无共用管线，参见模型. 问题 2定理2设两非共用管道的交接点为，城区输油管道向郊区铺设的转折点，因存在两动点，首先确定点必定落在两区域边界上，如图所示. 证明：假设在郊区存在点，由三角形两边之和大于第三边可知，在中，在单位输油管铺设费用相同时，显然意见点为优先点. 同理，假设在城区存在点，在中，在单位输油管铺设费用及拆迁费用相同时，很显然为优先点，所以必定落在城郊区边界点上，即点坐标为.图A由于聘请了三家咨询公司，而且三家公司资质不一样，通过查询资料（见附录1），对比甲级和乙级公司一些主要条件如：人员条件，资格条件，业绩条件等方面，甲级几乎是乙级的两倍要求，从而我们认为甲级公司估算出的价格权重系数是乙级公司的两倍，从而确定三家公司的权重比为2：1：1.从而得到铺设在城区管线的拆迁和工程补偿等附加费用. 三家公司估算结果如下表：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420则拆迁和工程补偿等附加费用为设，则目标函数为（解法一）在此，从而令要使点是的最值，故，即：于是：则： 将代入得，得，则总费用为282.798万元. （解法二） 应用Matlab软件编程（程序见附录2），对，两个动点在整个区域上搜索最优解，可得点，总费用为282.6973万元. 问题 3 在问题2的基础上可建立模型（解法一） 令： 要使点是的最值，故，即：得： 令：于是：将代入上式得，则，从而求得总的费用为252.86933万元. （解法二） 应用Matlab软件（程序见附录3），对，两个动点，在整个区域上搜索最优解，可得点设，总费用为251.9685万元.五、模型的评价本文通过建立平面直角坐标系，将铺设输油管线问题转化为三点连接问题.在各种铺设费用相同时，转化为简单的三点连接线段最短问题.铺设费用不同时，则转化为线段加权的最短问题.本文最大的特点是用简单的几何原理简化为一元函数和多元函数的极值问题.利用实际问题的最值必要条件、平面几何的性质以及三角函数的性质，直接得到了不同情形的最优设计方案.对于问题二和问题三采用两种不同的方法，根据计算结果得到它们的相对误差分别为和，说明该模型计算精确度高，可操作性强,模型具有较好的实用性.但也有一定的局限性，模型的结果不够简练，问题3的通式较复杂值得进一步推导简化.六、参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京，高等教育出版社，20032 中央政府门户网站，中华人民共和国建设部令第149号http:/www.gov.con/zi/iao/flfg/2006-04/20/content_257728.htm.（2010-9-10）3 钱颂迪等运筹学（第三版），清华大学出版社，20094 薛毅，数学模型基础，北京工业大学出版社，20045 华东师范大学数学系 编，数学分析（第三版），高等教育出版社，2001