第3讲 讲勾股定理的应用概 述 适用学科初中数学适用年级初二适用区域北师版区域课时时长（分钟）120知识点1.圆柱或长方体表面上两点间的最短距离;2.勾股定理的其他应用（方程思想的运用）.教学目标1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性教学重点利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点教学难点利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的难点【教学建议】 在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性, 将实际问题抽象成数学问题,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想【知识导图】教学过程一、导入如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、知识讲解考点1 生活中的立体图形考点1 圆柱体表面上两点间的最短距离 A B C DC 第一环节：情境引入情景1： 提出问题：从A到D怎样走最近？情景2：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？意图：通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景的创设引入新课，激发学生探究热情效果：从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础第二环节：合作探究内容：学生分为人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念效果：学生可能汇总以下四种方案：AAA （1） （2） （3） （4）学生很容易算出：情形（1）中AB的路线长为：，情形（2）中AB的路线长为： 所以情形（1）的路线比情形（2）要短学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA剪开圆柱得到矩形，情形（3）AB是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可如图：（1）中AB的路线长为：（2）中AB的路线长为：AB（3）中AB的路线长为：AO+OBAB（4）中AB的路线长为：AB得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察接下来后提问：怎样计算AB？在RtAAB中，利用勾股定理可得，已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，取3，则注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1审题分析实际问题；2建模建立相应的数学模型；3求解运用勾股定理计算；4检验是否符合实际问题的真实性考点2 勾股定理的其他应用 三 、例题精析李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？解答：（2）AD和AB垂直意图：运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题效果：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论三 、例题精析类型一圆柱体表面上两点间的最短距离1.有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm在AA1上有一只蚂蚁Q，QA=3cm；在BB1上有一滴蜂蜜P，PB1=2cm若蚂蚁想要沿圆柱体侧面爬到P点吃蜂蜜，则爬行的最短路径长为_（取整数3）【解析】13【总结与反思】勾股定理的实际应用2.如图所示，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止问：小明至少需要准备一根多长的彩带？【解析】2.9【总结与反思】勾股定理的实际应用类型二勾股定理的其他应用1.如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？【解析】（1）由题意得AC=9，AB=AD=41，ACBD，RtACB中，BC=，RtACD中，DC=，BD=80，804=20（s），受影响时间为20s；（2）2025，可以通行【总结与反思】勾股定理的实际应用基础1. 如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A上升到点B，已知AB=5cm，树干的直径为4cm计算出藤蔓一晚上生长的最短长度是（ ）（取整数3） 2.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）cm3.如图，甲轮船以16海里时的速度离开港口O，向东南方向航行，乙轮船在同时同地，向西南方向航行已知：它们离开港口O一个半小时后，相距30海里，求：乙轮船每小时航行多少海里? 答案与解析1.【答案】13【解析】勾股定理的实际应用2.【答案】13【解析】勾股定理的实际应用3. 【答案】12海里/小时【解析】甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，AOBO.甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时，OB=161.5=24海里，AB=30海里，在RtAOB中，AO=.乙轮船航行的速度为：181.5=12（海里/小时）巩固1.有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm在AA1上有一只蚂蚁Q，QA=3cm；在BB1上有一滴蜂蜜P，PB1=2cm若蚂蚁想要沿圆柱体侧面爬到P点吃蜂蜜，则爬行的最短路径长为_（取整数3）2.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，BC=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_3.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?答案与解析1.【答案】13【解析】勾股定理的实际应用2. 【答案】25【解析】勾股定理的实际应用3. 【答案】游人在2.5小时内撤离才可脱离危险【解析】在RtABD中，根据勾股定理，得BD=8020=4（小时）则台风中心经过4小时从B移动到D点；如图，距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，人们要在台风中心到达E点之前撤离，BE=BD-DE=80-30=50km，游人在5020=2.5小时内撤离才可脱离危险拔高1.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm（容器的厚度忽略不计）2.图所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为_cm.3如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离602千米的地方有一城市A（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？（2）在点O的北偏东15方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由答案与解析1.【答案】20【解析】勾股定理的实际应用2.【答案】（）【解析】3. 【答案】（1）A市不会受到此台风的影响（2）B市会受到此台风的影响，影响时间约为15小时【解析】（1）作ADOC，由题意得：DOA=45，OA=60km，AD=DO=60=60km，6050，A市不会受到此台风的影响；（2）作BGOC于G，由题意得：BOC=30，OB=80km，BG=OB=40km，4050，会受到影响，如图：BE=BF=50km，EG=30km，EF=2EG=60km，风速为40km/h，6040=15小时，影响时间约为15小时五 、课堂小结本节讲了2个重要内容：1 圆柱体表面上两点间的最短距离2 勾股定理的其他应用本节课与生活实际联系紧密，需要教师授课过程中多结合生活实际，用直观观察的方法，让学生有一个直观的认识.本节课的可操作性也很强，在培养学生操作能力的同时可以提升他们的立体图形的