梯形面积公式的巧妙拓展安徽省淮南市田家庵区第三小学 陈敏（邮箱：chen201066qq.com）教学内容人教版五年级上册数学第91页第6题教学目标1.理解并掌握利用梯形面积公式计算圆木总根数的方法，进而学会运用梯形面积公式计算公差为1的等差数列的和。2.在探究活动中培养好奇心和求知欲，在解决问题的过程中发展分析、比较、抽象、概括的能力。教学重点理解并掌握利用梯形面积公式计算木料总根数的方法。教学难点借助几何直观，利用梯形面积公式计算公差为1的等差数列的和。教学过程一、游戏导入师：同学们，你们知道工人叔叔怎样堆放圆木吗？现在我们用数学游戏来感知他们堆放圆木的方法，并探索其中包含的数学知识。我们以圆形代替圆木，像我这样，第一层画2根，第二层画3三根，第三层画4根，画完想一想： 这堆圆木的堆法有什么特点？共有多少根？你是怎么计算的？生：我发现堆放的圆木下一层都比上一层多一根，共有9根。我的算式是2+3+4=9(根)。师：再观察一下，看看这些圆木堆成了什么形状?生：我发现这些圆木堆成了梯形的形状。师:梯形的面积公式是什么？既然木料堆成了梯形，我们能否用梯形面积公式来计算总根数呢？试一试。生:梯形的面积=（上底+下底）高2。用梯形面积公式计算，（2+4）32=9（根）师：两次计算的结果相同。是不是巧合呢？我们再画一层，用两种方法计算总根数，来比较一下。先想一想，这一层该画几根？生:这一层该画5根。我先加一加，2+3+4+5=14（根），再用梯形面积公式计算，（2+5）42=14（根）。两种算法答案相同。师：难道又是巧合吗？我们按圆木堆放的特点，再画两层，用两种方法计算，再作比较，看看有什么发现。生：我又画了6根和7根，2+3+4+5+6+7=27（根）,(2+7)62=27（根）。计算结果再次相同。我发现圆木堆成了梯形，就可以用梯形面积公式来计算总根数。师：你们认同他的发现吗？谁能把自己发现的计算圆木总根数的公式说一说？生：认同。我发现圆木的总根数=（顶层根数+底层根数）层数2师生小结：圆木堆成了梯形的形状，可以用梯形面积公式来计算总根数。不过公式要改换为总根数=（顶层根数+底层根数）层数2。二、深入探究1圆木堆成三角形师：刚才这堆圆木堆成了梯形，如果我们在顶层再画一根（顺手画上），此时圆木堆成了什么形状？你认为该怎样计算总根数呢？生:这时堆成了三角形，我认为可以用三角形的面积公式来计算。师:我也这样想，既然堆成梯形可以用梯形面积公式来算总根数，那么堆成三角形也许就可以用三角形的面积公式来算吧。我们的猜想是否正确呢？怎么办？对，通过计算，验证一下。计算完毕，请把你们的想法跟大家交流一下。生：刚才我们算出总根数是27根，现在又加一根，总共28根。可是我用三角形的面积公式计算，772=24.5（根）。我发现两次计算结果不同。不知这是怎么回事？生：我猜想可能不能用三角形的面积公式来计算总根数。那又怎么算呢？师：是啊，明明堆成了三角形，为什么用三角形面积公式来算会出错呢？这个问题我们暂时还解决不了，把它记在问题档案中，待以后慢慢解决。我们仍然用梯形面积公式来算，试试看。说说你们又有什么发现？生：我用梯形面积公式来算，（1+7）72=28（根）。答案对了！我发现即使圆木堆成了三角形，也不能用三角形面积公式，还是要用梯形面积公式来算。师：说得好！即使圆木堆成了三角形，也不能用三角形面积公式，还是要用梯形面积公式来算。看来梯形的面积公式用途还真广泛啊！除了用于计算堆成梯形或三角形的圆木总根数，还会有什么作用呢？2.等差数列的和师：原来我们曾用位于中间的数乘自然数的个数计算过几个连续自然数的和，今天能不能找到另一种方法来计算呢？想一想，试一试。出示：1+2+3+13=生：我把这些自然数想象成堆成三角形的一堆圆木每层的根数，所以我还用梯形面积公式来算，（1+13）132=91，和用中间数7乘13，结果相同。师：你真聪明，能把数与形结合起来，真会想象！大家愿意像他一样，发挥想象力，计算更难的题目吗？出示：3+4+5+13=生：我把这些数想象成堆成梯形的圆木根数，用（3+13）112=88师：这里的11，是怎么得来的？生：从1到13是13个数，现在从3开始，少了1和2两个数，所以是11个数，也可以用133+1得到11。师：很好！所乘的数，可以用最后的数减去从1数少了几个数，也可以用尾数首数+1算出来。现在有一道比前两题更难的题目，你们敢尝试吗？出示：80+79+78+50=生：我用加法的交换律，把这些数的位置交换一下，变成50+51+52+80=，就又成了堆成梯形的一堆圆木了。用8050+1=31，共31个数，相当于有31层，然后用（50+80）312=2015。三、拓展提高一家剧院，第一排的座位有5个，第二排有7个，第三排有9个，照这样排下去，你知道第四排第五排各有几个座位？你能用几种方法算出共有多少座位？生：我发现后一排都比前一排多两个座位，所以我知道第四排有11个座位，第五排有13个座位。我是用两种方法来算的。方法一：加一加，5+7+9+11+13=45；方法二：用公式，我想，这些座位也排成了梯形，我就试着用梯形面积公式来算，（5+13）52=45。还真行！我发现座位排成了梯形，前后都相差2个座位，也可以用梯形面积公式来计算共有多少座位。师：是的。但如果前后都相差3个、4个座位，还可以用梯形面积公式计算座位总数吗？有兴趣的话，可以在课外尝试探究，你会有更多的发现。四、课堂总结通过这节课的学习，你对梯形的面积公式有了哪些新的认识？教学反思巧用“最近发展区”，构建“教学最佳期”这节课，我借助几何直观，采用数形结合的形式，引导学生依托图形进行数学思考和想象，带领学生经历了猜想验证思考发现的过程，不断设疑，层层推进，步步提高，不仅让学生掌握了用梯形面积公式来计算堆成梯形或三角形的一堆木料的总根数，而且教学生学会了用梯形面积公式来计算公差为1的等差数列的和；不仅使学生获得了一些分析问题和解决问题的基本方法，而且发展了学生的抽象思维和推理能力。课前，我也曾对学生能否学会这些有难度的内容心存疑虑，由于教学内容前后衔接，安排合理，立足于学生的“最近发展区”，学生们如同参加闯关游戏一般，轻松快乐地学会了所有内容，并从中感受到灵活运用梯形面积公式的乐趣，这充分体现了维果茨基“最近发展区”理论的实践意义。维果茨基认为，好的教学应处于“教学最佳期”，而“教学最佳期”是由最近发展区决定的。只有针对最近发展区的教学，让学生“跳一跳，摘桃子”，才能促进学生的发展。教师要着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，激发他们的好奇心，调动他们的积极性，引发他们对问题解决的深层理解，才能不断把最近发展区转化为现有发展区，把未知转化成已知，把不会转化为会，把不能转化为能。这节课的成功，让我深深体会到：落实素质教育的关键，就在于培养学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，教师要善于运用自己的教学智慧和教学艺术，拨动学生的好奇心，使学生对数学由厌学到乐学，最终达到会学。我不由得想起苏霍姆林斯基的一段话：“如果教师不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么知识只能使人产生冷漠的态度，学习就会成为学生沉重的负担。”在一节课有限的时间里，我充分发挥了教师作为促进者和引导者的主导作用，在学生无疑处设疑引思，当学生有疑时适时解疑，遇到一时难解的问题，教学生存疑待解，这样做，大大节约了时间，提高了课堂教学的效率，因为我始终牢记着张奠宙教授的话：“教师要在很短的时间内，将人类几千年积累的知识精华传递给后人，效率至关重要。让学生在黑暗中摸索，体验发现创造的历程只能是少量的。绝大多数是有意义地接受性学习，教师必然会起主导作用。”但一节课的时间毕竟有限，不可能也没必要解决所有问题，因此我让学生带着问题走进教室，带着更多的问题走出教室。为了提高教学效率，我还充分利用学生的智慧，在自主探索的基础上，我适时引导学生合作交流，分享学习成果，使困惑者释疑解惑，让大家相互启发，迸发创新的火花，促进独立思考的广度和深度。下课铃响起时，不少学生感叹：一节课这么短，不知不觉就下课了。我也心生感叹：谁说数学枯燥乏味，一旦对她产生了兴趣，你就会觉得数学原来奥妙无穷，就像我国著名的数学家陈省身先生说的那样：“数学的确好玩，它就像一个花园，你在外面看看也许不起眼，可是你一旦走进去就会发现那是一个奇妙而美丽的世界。”