-求动点的轨迹方程例题，习题与答案在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点容求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法。l 求动点轨迹的常用方法动点P的轨迹方程是指点P的坐标*, y满足的关系式。1. 直接法1依题意，列出动点满足的几何等量关系；2将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。例题 直角坐标平面上点Q2，0和圆C：，动点M到圆C的切线长等与，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线 解：设动点M(*,y)，直线MN切圆C于N。依题意：，即而,所以(*-2)+y=*+y-1化简得：*=。动点M 的轨迹是一条直线。2. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆或椭圆、双曲线、抛物线的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。例题：动圆M过定点P4，0，且与圆C：相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：设M(*,y)，动圆的半径为r。假设圆M与圆C相外切，则有 MC=r4假设圆M与圆C相切，则有 MC=r-4而MP=r, 所以MC-MP=4动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。动点的轨迹方程为：3. 相关点法假设动点P(*，y)随曲线上的点Q(*，y)的变动而变动，且*、y可用*、y表示，则将Q点坐标表达式代入曲线方程，即得点P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。例题：线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。解：设M(*,y), A(),依题意有：*=, y=则：*=2*-4, y=2y-3, 因为点A()在圆上，所以点M的轨迹方程为：动点M的轨迹为以2,为圆心，1为半径的圆。4. 参数法例题：定点A-3,0，M、N分别为*轴、y轴上的动点M、N不重合，且,点P在直线MN上，。求动点P的轨迹C的方程。解：设N(0,t), P(*,y)直线AN的斜率，因为，所以直线MN的斜率直线MN的方程为y-t=,令y=0 得*=,所以点M(,0), 由, 得*=), y-t=,则所以动点P的轨迹方程为：5. 交轨法例题：如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设。求直线与的交点的轨迹的方程。解：设，由得，则直线的方程为，直线的方程为，即y+2= y-2= - 两式相乘，消去即得的轨迹的方程为练习与答案1. 设圆C与圆*2+y.32=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为AA抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆2. 圆，圆，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。(*0)3.过点A(4，0)作圆O*+y2=4的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹。(*-2)+y=4 (0*1)4. 圆C：+(y-4)=1, 动点P是圆外一点，过P作圆C的切线，切点为M，且PM=POO为坐标原点。求动点P的轨迹方程。提示：PO=PM=3*+4y-12=05. 圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.求点的轨迹方程。解：动点P 到圆C的最短距离为PC-1,动点P 到圆C的最短距离为PC-1,依题意有：PC-1=PC-1，即PC=PC所以动点P的轨迹为线段CC的中垂线。所以动点 P 的轨迹方程为：2*+y-5=06. 双曲线的左、右顶点分别为, 点P，Q是双曲线上不同的两个动点。求直线与交点的轨迹E的方程。解：由为双曲线的左右顶点知，两式相乘，因为点在双曲线上，所以，即，故，所以，即直线与交点的轨迹的方程为7. 曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域含边界为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合假设点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程。解：1联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为.8. 点C1，0，点A、B是O：上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点。求点P的轨迹T的方程。解：连结CP，由，知ACBC|CP|AP|BP|，由垂径定理知即设点P*，y，有化简，得到。9.设椭圆，过点的直线交椭圆于A、B，O为坐标原点，点P满足，当绕着M旋转时，求动点P的轨迹方程。解：直线过点，设其斜率为k，则直线的方程为，记，由题设可得点A、B的坐标是方程组的解，其方程组中消取得点P的坐标为即：点P为，设点P为，则P点的轨迹参数方程为 为参数消去参数得：当斜率不存在时，A、B的中为原点0，0也满足上述方程，故：动点P的轨迹方程为。10. 设圆C与两圆中的一个切，另一个外切。求圆C的圆心轨迹L的方程。解：两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，由题意得或，可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则，所以轨迹L的方程为11. 如下图，P4，0是圆的一点。A、B是圆上两动点，且满足,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设R(*,y),依题意，有OR+RA=36,而RA=RP,所以OR+RP=36, 即化简得：设Q(*, Y),因为R(*,y)是QP的中点，所以有*=,y=,故化简得：*12. 在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPO=AOP。当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程。解：如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，因此即另一种情况，见图2即点M和A位于直线OP的同侧。MQ为线段OP的垂直平分线，又因此M在轴上，此时，记M的坐标为为分析的变化围，设为上任意点由 即得，故的轨迹方程为综合和得，点M轨迹E的方程为13. 点M是椭圆上的动点。如图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，=0,求线段的中点的轨迹方程；解：设.因为，故 因为所以 . 记P点的坐标为，因为P是BQ的中点，所以 由因为 ，结合，得故动点P的轨迹方程为*-。. z