专题10 数列与不等式的综合问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；比较方法：作差或者作商比较【压轴典例】例1(2020全国高三专题练习)已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，设，则当时，的最小值是( )A9B10C11D12例2(2021浙江绍兴市高三期末)设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，且最小间隔数是3，则实数的取值范围是( )ABCD例3.(2020江西师大附中高考模拟)数列中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，依此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为()ABCD例4(2020长沙市湖南师大附中高三)已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线，切点为.则下列结论正确的是( )A数列的通项为 B数列的通项为C当时， D例5(2020深圳实验学校高中部高三)设为等比数列的前项和，满足，且，成等差数列，则下列结论正确的是( )A BC若数列中存在两项，使得，则的最小值为D若恒成立，则的最小值为例6. (2018江苏高考真题)已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为_例7(2020河南洛阳高三模拟)记首项为，公差为的等差数列的前项和为，若，且，则实数的取值范围为_例8(2019四川重庆南开中学高考模拟)在正项递增等比数列中，记，则使得成立的最大正整数为_例9.(2020浙江高考T20)已知数列an,bn,cn中,a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1=cn(nN*).()若数列bn为等比数列,且公比q0,且b1+b2=6b3,求q与an的通项公式;()若数列bn为等差数列,且公差d0,证明:c1+c2+cn1+.例10.(2019浙江高考T20)设等差数列an的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数列bn满足:对每个nN*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.(1)求数列an,bn的通项公式.【压轴训练】1(2021上海松江区高三一模)记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是( )ABCD2(2020上海高三专题练习)若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为( )ABCD3. (2020安徽合肥高三)设是等差数列，下列结论一定正确的是( )A若，则B若，则C若，则D若，则4(2020浙江杭州高三)已知等差数列的前项和是，公差不等于零，若成等比数列，则A BC D5(2020山东高考模拟)已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为_6()2020浙江宁波市高三期中)已知数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)求证，7(2020安徽高考模拟)已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若 ，则使不等式成立的的最小值是_.8(2020甘肃天水一中高考模拟)已知数列满足，那么成立的的最大值为_9(2020河北高考模拟(理)已知数列的前项和为，且，若，则取最小值时_.10(2020全国高三专题练习)已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足.(1)求数列、的通项公式；(2)如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.11(2020浙江金华市高三)已知为公差不为的等差数列，是等比数列的前项和，若是和的等比中项，.(1)求及；(2)证明：.12(2020天津高考模拟)已知单调等比数列，首项为，其前项和是，且，成等差数列，数列满足条件(1)求数列、的通项公式；(2)设，记数列的前项和是.求；求正整数，使得对任意，均有.13(2020广东高考模拟)已知数列满足.(1)求和的通项公式；(2)记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围14. 设数列满足,其中为实数.()证明：对任意成立的充分必要条件是,()设,证明：;()设,证明：15. 已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为(1)求数列的通项公式；(2)证明：.