专题10 二次函数与平行四边形含矩形菱形正方形的存在性问题（解析版）第一部分 典例剖析+变式训练类型一 二次函数与平行四边形的存在性问题典例1 （2022攀枝花）如图，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由思路引领：（1）根据题意知，二次函数顶点为（1，1），设二次函数解析式为ya（x1）21，将点B（0，0）代入得，a10，即可得出答案；（2）连接OP，根据题意得点A的坐标，则SSAOB+SOAPSOBP，代入化简即可；（3）设N（n，n22n），分AB或AN或AM分别为对角线，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求出n的值，进而得出答案解：（1）二次函数的最小值为1，点M（1，m）是其对称轴上一点，二次函数顶点为（1，1），设二次函数解析式为ya（x1）21，将点O（0，0）代入得，a10，a1，y（x1）21x22x；（2）连接OP，当y0时，x22x0，x0或2，A（2，0），点P在抛物线yx22x上，点P的纵坐标为t22t，SSAOB+SOAPSOBP=1221+122（t2+2t）12tt2+32t+1；（3）设N（n，n22n），当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+01+n，n1，N（1，1），当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1n+0，n3，N（3，3），当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n0+1，n1，N（1，3），综上：N（1，1）或（3，3）或（1，3）总结提升：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键变式训练1（2022贵港模拟）如图，抛物线yax2+bx+6与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为（2，0），点B坐标为（6，0）对称轴l与x轴交于点F，P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC（1）求抛物线的表达式；（2）当四边形ACPB面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接PF，E是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由思路引领：（1）用待定系数法即可得抛物线的表达式为y=12x2+2x+6；（2）连接AC、OP，过P作PHx轴于H，在y=12x2+2x+6中得C（0，6），设P（m，12m2+2m+6），S四边形ACPBSAOC+SCOP+SBOP=32（m3）2+752，根据二次函数性质及得答案；（3）设E（n，0），Q（t，12t2+2t+6），又P（3，152），分三种情况：当EF、PQ为对角线时，EF、PQ的中点重合，2+n=t+30+0=12t2+2t+6+152，解得Q（31+2，152）或（31+2，152）；当FQ、EP为对角线时，FQ、EP的中点重合，2+t=n+312t2+2t+6=0+152，解得Q（1，152）；当FP、EQ为对角线时，2+3=n+t0+152=012t2+2t+6，解得Q（1，152）解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入yax2+bx+6得：4a2b+6=036a+6b+6=0，解得a=12b=2，抛物线的表达式为y=12x2+2x+6；（2）连接AC、OP，过P作PHx轴于H，如图：在y=12x2+2x+6中，令x0得y6，C（0，6），A（2，0），B（6，0），OC6，OA2，OB6，设P（m，12m2+2m+6），S四边形ACPBSAOC+SCOP+SBOP=1226+126m+126（12m2+2m+6）6+3m32m2+6m+18=32m2+9m+24=32（m3）2+752，320，当m3时，S四边形ACPB取最大值，最大值是752；此时12m2+2m+6=1232+23+6=152，P的坐标为（3，152）；（3）在抛物线上存在点Q，使得以F、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由抛物线y=12x2+2x+6与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点可得对称轴是直线x=2+62=2，F（2，0），设E（n，0），Q（t，12t2+2t+6），又P（3，152），当EF、PQ为对角线时，EF、PQ的中点重合，2+n=t+30+0=12t2+2t+6+152，解得t=31+2或t=31+2，Q（31+2，152）或（31+2，152）；当FQ、EP为对角线时，FQ、EP的中点重合，2+t=n+312t2+2t+6=0+152，解得t1或t3（与P重合，舍去），Q（1，152）；当FP、EQ为对角线时，FP、EQ的中点重合，2+3=n+t0+152=012t2+2t+6，解得t1或t3（舍去），Q（1，152），综上所述，Q的坐标是（31+2，152）或（31+2，152）或（1，152）总结提升：本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、四边形面积、平行四边形性质及应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度类型二 二次函数与矩形存在性问题典例2（2022绥化）如图，抛物线yax2+bx+c交y轴于点A（0，4），并经过点C（6，0），过点A作ABy轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD点E从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EFAB于F，以EF为对角线作正方形EGFH（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由思路引领：（1）根据抛物线的对称轴为直线x2，可得出抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（2，0），列出交点式，再将点A（0，4）可得出抛物线的解析式；（2）根据可得出ABD是等腰直角三角形，再根据点E的运动和正方形的性质可得出点H，F，G的坐标，根据点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，将点G代入直线BC的解析式即可；（3）若存在，则BGC是直角三角形，则需要分类讨论，当点B为直角顶点，当点G为直角顶点，当点C为直角顶点，分别求解即可解：（1）抛物线的对称轴为直线x2，C（6，0），抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），抛物线的解析式为：ya（x+2）（x6），将点A（0，4）解析式可得，12a4，a=13抛物线的解析式为：y=13（x+2）（x6）=13x243x4（2）ABy轴，A（0，4），点B的坐标为（4，4）D（4，0），ABBD4，且ABD90，ABD是等腰直角三角形，BAD45EFAB，AFE90，AEF是等腰直角三角形AE=2m，AFEFm，E（m，4+m），F（m，4）四边形EGFH是正方形，EHF是等腰直角三角形，HEFHFE45，FH是AFE的角平分线，点H是AE的中点H（12m，4+12m），G（32m，4+12m）B（4，4），C（6，0），直线BC的解析式为：y2x12当点G随着E点运动到达BC上时，有232m124+12m解得m=165G（245，125）（3）存在，理由如下：B（4，4），C（6，0），G（32m，4+12m）BG2（432m）2+（12m）2，BC2（46）2+（4）220，CG2（632m）2+（412m）2若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则BGC是直角三角形，分以下三种情况：当点B为直角顶点时，BG2+BC2CG2，（432m）2+（12m）2+20（632m）2+（412m）2，解得m=85，G（125，165）；当点C为直角顶点时，BC2+CG2BG2，20+（632m）2+（412m）2（432m）2+（12m）2，解得m=285，G（425，65）；当点G为直角顶点时，BG2+CG2BC2，（432m）2+（12m）2+（632m）2+（4412m）220，解得m=245或2，G（3，3）或（365，85）；综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G的坐标为（125，165）或（425，65）或（3，3）或（365，85）总结提升：本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，分类讨论等知识，解题关键是由点E的坐标得出点H，F，G的坐标本题第（3）问当点B和点C为直角顶点时，也可通过一次函数和几何结合求解变式训练1（2022黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）经过原点O的抛物线yx2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MNy轴且MN2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由思路引领：（1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；（2）设直线AB的解析式为ykx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据MN2解方程可得答案；（3）分AC为边和对角线两种情况进行讨论：根据平移的性质，三角形相似的性质和判定，两点的距离公式可得结论解：（1）抛物线yx2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），16+4b+c=0c=0，解得：b=4c=0，抛物线的解析式为：yx2+4x；（2）直线AB经过点A（4，0）和B（0，4），直线AB的解析式为：yx+4，MNy轴，设M（t，t+4），N（t，t2+4t），其中0t4，当M在N点的上方时，MNt+4（t2+4t）t25t+42，解得：t1=5172，t2=5+172（舍），M1（5172，3+17