最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料第四讲 数学归纳法证明不等式4.1 数学归纳法A级基础巩固一、选择题1用数学归纳法证明：123(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为()A1B13C123 D1234解析：当n1时左边所得的代数式为123.答案：C2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1B2 C3D0解析：边数最少的凸n边形是三角形答案：C3已知a1，an1，猜想an等于()A. B.C. D.解析：a2，a3，a4，猜想an.答案：D4一个与自然数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立推得当nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取什么值无关D以上答案都不对解析：由题意当n2时成立可推得n4，6，8，都成立，因此该命题对所有正偶数都成立答案：B5记凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k1)边形的内角和f(k1)等于f(k)加上()A2 BC. D.解析：从nk到nk1时，内角和增加.答案：B二、填空题6当f(k)1，则f(k1)f(k)_解析：f(k1)1，所以f(k1)f(k).答案：7观察下列等式：132332，13233362，13233343102，根据上述规律，猜想132333435363_解析：已知等式可写为：132332(12)2，13233362(123)2，13233343102(1234)2，根据上述规律，猜想132333435363(126)2212.答案：2128用数学归纳法证明“nN*时，12222325n1是31的倍数”时，n1时的原式是_，从k到k1时需添加的项是_答案：12222324，25k25k125k225k325k4三、解答题9用数学归纳法证明：(n2，nN)证明：(1)当n2时，左边1，右边.所以等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时，等式成立，即(k2，kN)当nk1时，所以当nk1时，等式成立根据(1)和(2)知，对n2，nN时，等式成立10用数学归纳法证明n35n能被6整除证明：(1)当n1时，左边13516，能被6整除，结论正确(2)假设当nk时，结论正确，即k35k能被6整除则(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3(k2k2)k35k3(k1)(k2)，因为k35k能被6整除，(k1)(k2)必为偶数，3(k1)(k2)能被6整除，因此，k35k3(k1)(k2)能被6整除即当nk1时结论正确根据(1)(2)可知，n35n对于任何nN都能被6整除B级能力提升1用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)时，从“nk到nk1”左端需乘以的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.解析：当nk时，等式为(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)当nk1时，左边(k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)比较nk和nk1时等式的左边，可知左端需乘以2(2k1)答案：B2用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被14整除，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1应变形为_解析：34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1答案：81(34k152k1)5652k13是否存在常数a，b，c使等式(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立？证明你的结论解：存在分别用n1，2，3代入，解方程组得故原等式右边.下面用数学归纳法证明(1)当n1时，由上式可知等式成立(2)假设当nk(kN，k1)时等式成立，即(k212)2(k222)k(k2k2)k4k2.则当nk1时，左边(k1)2122(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k212)2(k222)k(k2k2)(2k1)2(2k1)k(2k1)k4k2(2k1)(k1)4(k1)2，故nk1时，等式成立由(1)(2)得等式对一切nN均成立最新精品资料