复习直线和圆的方程一. 教学内容： 复习直线和圆的方程二. 重点、难点：（一）知识点 （二）重点知识反刍梳理（直线方程） 1. 直线的倾斜角与斜率的概念 （1）直线的倾斜角与斜率的关系： 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。 （2）直线方程的形式： 确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。 （3）平面上直线与二元一次方程是一一对应的。 2. 两条直线的位置关系： 注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别。 （2）判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断；若两直线的斜率有一不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。 结论： （3）点到直线的距离公式 3. 简单的线性规划 （1）在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示在直线AxByC0的某一侧的平面区域。 （2）简单的线性规划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下，求线性目标函数axby的最大值或最小值问题。一些实际问题可以借助这种方法加以解决。 4. 圆的方程 （1）曲线和方程的关系 （2）圆的方程的形式 确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有三种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围。 半径。 （3）直线与圆的位置关系的判定方法 （4）两圆的位置关系的判定方法 置关系如下： 【典型例题】 例1. 解： 设AC边上的高为BH 例2. 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ 分析：O、P、Q、R四点共线，P点横坐标为a是已知的，另条件等式是线段的二次齐次，故可转化为横坐标间的二次齐次，又R点在圆周上，故设R点坐标（xR，yR）为参数，以下只需列出三个等式消参。 详解： 例3. 分析：已知l上一点A的坐标，于是只需确定直线l的斜率k即可。由光学知识知道入射角等于反射角。于是求k的途径之一是只需l与已知圆关于x轴的对称圆相切；途径之二是利用入射光线l与反射光线在x轴的反射点处关于x轴的法线方向对称。 解：方法一： 方法二： 因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线l所在直线的方程是： 这条直线应与已知圆相切，故圆心C到它的距离等于1 以下同解法一。 小结：（1）方法一是非构造性解法，方法二是构造性解法，显然解法一简捷明快，但需作深入分析才能找到入射光线与对称圆相切的关系。多想出智慧！（2）对方法二还可作以下修正，此时入射光线l与反射光线l的斜率互为相反数，A点关于x轴对称点为A（-3，-3），设入射光线l斜率为k，反射光线方程为y3k（x3），即kxy3（x1）。 例4. 与圆C外切，若点A对所有满足条件的MN，使MAN为定角，试求定点A的坐标及定角MAN的大小。 分析：由条件先找出以MN为直径的圆的圆心与半径之间的数量关系，继而发现以MN为直径的圆必成对关于y轴对称，所以定点必在y轴上且上、下方均有可能，再从两个特殊的动圆入手，猜出定点坐标和定角大小，最后作一般性证明。 解：设以MN为直径的圆的圆心P（a，0），半径为r 动圆与定圆相切 因为以MN为直径的圆必成对关于y轴对称，所以设定点A（0，b） 以下作一般性证明： 当A（0，3）时同理可得 评注：这是一道开放性命题，需作分析、归纳、猜想、证明，即从一般到特殊再从特殊到一般。 例5. 某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢8层楼公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（精确到1m2）。 解：如图，在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划得一块长方形土地。 建立如图所示的坐标系，则 例6. 称。 （3）设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线yx必相交。 （1）解：曲线和关于直线yx对称，则g(x)为f(x)的反函数 （2）证明： （3）证明：设A、B为曲线上任意不同两点（x1，y1），（x2，y2） 又直线yx的斜率为1，直线AB与直线yx必相交。 例7. y轴交于A、B两点，点P为（-3，0）。 （1）若点D坐标为（0，3），求APB的正切值； （2）当点D在y轴上运动时，求APB的最大值； （3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由。 解： 此时，A、B坐标分别为（0，0）、（0，6） PA在x轴上，BP斜率k2 （3）假设存在Q点，设Q（b，0），QA、QB斜率分别为k1、k2 例8. 已知：如图射线OA为ykx（k0，x0），射线OB为ykx（x0），动点P（x，y）在AOx的内部，PMOA于M，PNOB于N，四边形ONPM的面积恰为k。 （1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数，求这个函数yf(x)的解析式； （2）根据k的取值范围，确定yf(x)的定义域。 解： 则 由动点P在AOx的内部，得0y2x （2）由0ykx，得： 但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必 【模拟试题】一. 选择题。 1. 已知点到直线的距离为，那么等于（ ） A. B. C. D. 2. 实数x，y满足，那么有（ ） A. 最小值和最大值1 B. 最大值1和最小值 C. 最小值，而无最大值 D. 无最小值，而有最大值1 3. 已知，则是的（ ） A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 若点在直线上，则直线方程可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，P为x轴上一动点，当取得最大值时，点P的坐标为（ ） A. B. （13，0） C. （5，0）D. 6. 曲线与直线有两个交点时，实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二. 填空题。 7. 已知两条直线和的交点为P（2，3），则过两点的直线方程是_。 8. 若原点O在直线上射影是点，则直线的方程是_。 9. 设集合，则表示的图形的面积是_。 10. 圆的各点中，到直线距离最远的点的坐标是_。三. 计算题。 11. 设方程表示两条直线。（1）求k的值；（2）求通过此两条直线的交点与点（1，1）的直线方程。 12. 两直线分别绕两点旋转，它们在y轴上的截距b、b的乘积等于常数，求两直线交点的轨迹。 13. 有两种物质（药品和粮食），可用列车和飞机两种方式运输，每天每列车和每架飞机运输效果如下： 在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨粮食和1500吨药品的任务？ 14. 一个圆满足：（1）截y轴所得的弦为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。 15. 设曲线和曲线有且只有三个交点，求实数a与b应满足的条件。【试题答案】一. 选择题。 1. D2. B3. C4. A5. B6. A二. 填空题。 7. 8. 9. 10. 三. 计算题。 11. 解：（1）设所表示的两条直线为 及 得： 与已知方程比较得： 解得： （2）两条直线交点为（1，0），所以所求直线方程为 12. 解：设为直线AC和BD的交点，根据题设得两直线方程： 因为M是AC和BD的交点，所以它的坐标同时满足以上两直线方程，由、两式组成方程组 解得： 两式相乘将bb换成，并化简，得： 由于式中的是动点M的坐标，因此，所求的轨迹是圆。 13. 解：设列车x列，飞机y架，则 即 作出可行域，设出目标函数为，作平行直线 解得： 由条件整理得： 经检验适合条件，所以，每天派列车4列、飞机7架以上才能完成任务。 14. 解：设圆的圆心为，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为 由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P截x轴所得的弦长为，故。 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有 从而得 又点到直线的距离为 所以有 当且仅当时等号成立，此时 从而d取最小值，因此有 解此方程组得，或 由于，知 所求圆的方程是或 15. 解： 为两条直线 与交于（0，0）、（0，1）两点，故a、b