第十八届全国中学生物理竞赛复赛试题一、参考解答1对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于光轴的光线，它通过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图1826所示，图中1为左端球面的球心 图1826由正弦定理、折射定律和小角度近似得（）（）（）1（）1）1（1），即（）11（1）光线射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心一定在端面顶点的左方，等于球面的半径，如图1826所示仿照上面对左端球面上折射的关系可得（）11（1），又有，由、式并代入数值可得5则右端为半径等于5的向外凸的球面图18272设从无限远处物点射入的平行光线用、表达，令过，过，如图1827所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点，即为左端球面对此无限远物点成的像点现在求点的位置，在中，有（）（），又，已知、均为小角度，则有（1（1）与式比较可知，即位于过垂直于主光轴的平面上上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是互相平行的光线容易看出，从射出的光线将沿原方向射出，这也就是过点的任意光线（涉及光线、）从玻璃棒射出的平行光线的方向，此方向与主光轴的夹角即为，由图1827可得2（）（），由、式可得（）（），则2二、参考解答1由图1828知在海平面处，大气压强（0）101310在5000时，大气压强为（5000）5310图1828图1829此处水沸腾时的饱和蒸气压应等于此值由图1829可知，相应的温度即沸点为82达成此温度时，锅内水开始沸腾，温度不再升高，故在5000高山上，若不加盖压力锅，锅内温度最高可达822由图1829可知，在120时，水的饱和蒸气压（120）19810，而在海平面处，大气压强（0）10110可见压力阀的附加压强为（120）（0）（19810101310）96710在5000高山上，大气压强与压力阀的附加压强之和为（5000）（967105310）1497103若在时阀被顶起，则此时的应等于，即，由图1829可知112此时锅内水开始沸腾，温度不再升高，故按对的方法使用此压力锅，在5000高山上锅内水的温度最高可达1123在未按对的方法使用压力锅时，锅内有空气，设加压力阀时，内部水蒸汽已饱和由图1829可知，在27时，题中已给出水的饱和蒸气压（27）3610，这时锅内空气的压强（用表达）为（27）（5000）（27）（53103610）49410当温度升高时，锅内空气的压强也随之升高，设在温度为（）时，锅内空气压强为（），则有（）（273）（27）（27327），（）（164745010）若在时压力阀刚好开始被顶起，则有（）（），由此得（）（）（105101647），画出函数（）的图线，取0，有（0）10510，取100，有（100）88610由此二点便可在图1829上画出此直线，此直线与图1829中的（）曲线的交点为，即为所求的满足上式的点，由图可看出与点相应的温度为97即在压力阀刚开始被顶起时，锅内水的温度是97，若继续加热，压力阀被顶起后，锅内空气随水蒸汽一起被排出，最终空气排净，锅内水温仍可达112三、参考解答为使氢原子从基态跃迁到激发态，需要能量最小的激发态是2的第一激发态已知氢原子的能量与其主量子数的平方成反比即，又知基态（1）的能量为1358，即11358，所以13582的第一激发态的能量为21358（14）339为使基态的氢原子激发到第一激发态所需能量为内（3391358）1019这就是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发出的光子的能量，即内101910191602101916321018式中为光子的频率，从开始碰到发射出光子，根据动量和能量守恒定律有光子的动量，（12）（12）（），光子的动量由式可推得2，由于，故式中光子的动量与相比较可忽略不计式变为（）， 符合、两式的0的最小值可推求如下：由式及式可推得（12）（12）（）（12）（），0，经配方得（12）（14）0，（14）（12），由式可看出，当（12）时，达成最小值，此时，2，代入有关数值，得62510答：原子的速度至少应为62510四、参考解答1求网络各支路的电流因磁感应强度大小随时间减少，考虑到电路的对称性，可设两环各支路的感应电流、的方向如图18210所示，对左环电路，有图18210，因56，6，故（56）（6）因回路所围的面积为2（23）12），故对该回路有2（23）12）2（6），解得（23）2），代入式，得（103）10）2求每个圆环所受的力 图18211先求左环所受的力，如图18211所示，将圆环分割成很多小圆弧，由左手定则可知，每段圆弧所受的力的方向均为径向，根据对称性分析，因圆弧与圆弧中的电流方向相反，所以在磁场中受的安培力互相抵消，而弧与弧的电流相对轴上下是对称的，因而每段载流导体所受的安培力在方向的合力为零，以载流导体弧上的线段为例，安培力为径向，其分量的大小表达为，因，故，由于导体弧在方向的合力为零，所以在时刻所受安培力的合力仅有分量，即（103）10）（103）10）（），方向向左同理，载流导体弧在时刻所受的安培力为（23）2）（23）2）（），方向向右左环所受的合力大小为（95）（）方向向左五、参考解答分以下几个阶段讨论：1由于球壳外空间点电荷、的存在，球壳外壁的电荷分布不均匀，用表达面电荷密度设球壳半径10时球壳外壁带的电量为，由于电荷、与球壳外壁的电量在球壳内产生的合场强为零，球壳内为电势等于的等势区，在导体表面上的面元所带的电量为，它在球壳的球心处产生的电势为，球壳外壁所有电荷在球心产生的电势为点电荷、在球壳的球心处产生的电势分别为与，因球心处的电势等于球壳的电势，按电势叠加原理，即有（）（）（），代入数值后可解得球壳外壁的电量为（）（）（）810因球壳内壁无电荷，所以球壳的电量等于球壳外壁的电量，即81092当球壳半径趋于时（点电荷仍在球壳外），设球壳外壁的电量变为，球壳外的电荷、与球壳外壁的电量在壳内产生的合场强仍为零，因球壳内仍无电荷，球壳内仍保持电势值为的等势区，则有（）（）（），解得球壳外壁的电量（）（）16109由于此时球壳内壁的电量仍为零，所以球壳的电量就等于球壳外壁的电量，即16109，在10到趋于的过程中，大地流向球壳的电量为81093当点电荷穿过球壳，刚进入球壳内（导体半径仍为），点电荷在球壳内壁感应出电量，因球壳的静电屏蔽，球壳内电荷与球壳内壁电荷在球壳外产生的合电场为零，表白球壳外电场仅由球壳外电荷与球壳外壁的电荷所决定由于球壳的静电屏蔽，球壳外电荷与球壳外壁的电荷在球壳内产生的合电场为零，表白对电荷与产生的合电场而言，球壳内空间是电势值为的等势区与在球心处产生的电势等于球壳的电势，即（）（），解得球壳外壁电量（）（）6109，球壳外壁和内壁带的总电量应为（）16109，在这过程中，大地流向球壳的电量为0这个结果表白：电荷由球壳外极近处的位置进入壳内，只是将它在球壳外壁