专题：几何翻折变换(折叠问题)1、已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A(11,0)，点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合)，经过点O、P折叠该纸片，得点B和折痕OP.设BP=t.(I) 如图，当ZBOP=30o时，求点P的坐标；(II) 如图，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上，得点C和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；(III) 在(II)的条件下，当点C恰好落在边OA上时，求点P的坐标(直接写出结果即可).2、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8.把ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点G；E、F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点乩把厶FDE沿EF折叠，使点D落在D处，点D，恰好与点A重合.(1) 求证：ABGACDG；(2) 求tanZABG的值；(3) 求EF的长.3、如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点，交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.(1) 求抛物线解析式及点D坐标；(2) 点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；(3) 过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将ACPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q.是否存在点P，使Q恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由.第#页共4页【答案】1、解：（I）根据题意，ZOBP=90。，OB=6。在RtAOBP中，由ZBOP=30。，BP=t,得OP=2t。OP2=OB2+BP2，即(2t)2=62+t2，解得：t=2j3，t2=-2朽(舍去).点P的坐标为(2朽，6)。(【OBPAQCP分别是由厶OBP、AQCP折叠得到的，.OBP9AOBP,AQCP9AQCPZOPB=ZOPB,ZQPCf=ZQPCoVZOPB,+ZOPB+ZQPC,+ZQPC=180，AZOPB+ZQPC=90oVZBOP+ZOPB=90，AZBOP=ZCPQoBPCQOB又VZOBP=ZC=90，AOBPPCQoA庄由题意设BP=t，AQ=m,BC=11，AC=6，则PC=11t,CQ=6m.6t11一t6一m.m扣一”t+6(ot11)（III）点P的坐标为（11一313，6）或（11+313，6）2、（1）证明：BDC由厶BDC翻折而成,ZC=ZBAG=90,CD=AB=CD,ZAGB=ZDGCf,AZABG=ZADEo在厶ABGACDG中，VZBAG=ZC,AB=CD,ZABG=ZADC,AABGC,DG(ASA)o2）解：由(1)可知ABGACDG,.GD=GB,AG+GB=ADo设AG=x，则GB=8-x,在RtABG中，TAB2+AG2=BG2,7即62+x2=(8-x)2,解得x=o43）解：7tanZABG=AG=4=7AB624/AEF是ADEF翻折而成，EF垂直平分ADoHD”4。第#页共4页第#页共4页.tanZABG=tanZADE=?oEH=HDx=4x=724242467EF垂直平分AD,AB丄AD,.HF是厶ABD的中位线。.HFmZaBmMmSo22EF=EH+HF=7+3=25。663、解:(1)7抛物线y=ax2+bx+2经过A(-1,0),B(4,0)两点,1a=ab:;=00，解得：16a+4b+2=02133o抛物线解析式为y-x2,-x,2ob=213当y=2时，x2,x,22，解得：X=3,X2=0（舍去）。：点D坐标为（3,2）。(2) A,E两点都在x轴上，AE有两种可能: 当AE为一边时，AEPD,：Pi(0,2)。 当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE(即x轴)的距离相等，.P点的纵坐标为-2。1 33+41341代入抛物线的解析式：-x2+x+2，2，解得：x1，,x2，2 212223+41341P点的坐标为(3,-2),(3,-2)o223+41341综上所述：P1(0,2)；P2(,-2)；P3(,-2)o22(3) 存在满足条件的点P,显然点P在直线CD下方。设直线PQ交x轴于F,点P的坐标为(a,2a2+2a+2人当P点在y轴右侧时(如图1),CQ=a,PQ=2-打2+3a+2=22；a2-2a又.ZCQO+ZFQP=90,ZCOQ=ZQFP=90。,.ZFQP=ZOCQ,ACOQsAQFP,123淮=需，即；=21q，解得FQ=a-3OQ=OF-FQ=a-(a-3)=3,CQ=CQ=CO2+OQ2=32+22=13。cJ/oor-THl第#页共4页132a2-2a此时a=13，点P的坐标为(13,9+3213当P点在y轴左侧时(如图2)此时aVO,a2+a+20,CQ=-a,2(13PQ=2a2+a+2=I22丿又VZCQ,O+ZFQ,P=90,ZCQ,O+ZOCQ,=90,AZFQ,P=ZOCQ,ZCOQ,=ZQ,FP=90o,1a23aCOQCQFPo.Qo=，即；=2FQ2，解得FQ3-a。.OQ=3,CQ=CQ=32+22=13。9313此时a=-13，点P的坐标为(-13,)o29+3139313综上所述，满足条件的点P坐标为(13,933),(13,933)o22第#页共4页