初三数学 圆的综合的专项 培优练习题及答案一、圆的综合1如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E. （1）求证：BD平分ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明BCEACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD= ，DH=, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）D是的中点AD=DCCBD=ABDBD平分ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F, 证明BCEACF, BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD= ，DH=, =2四边形 ABCD 的对角线交于点 E，且 AEEC，BEED，以 AD 为直径的半圆过点 E，圆心 为 O（1）如图，求证：四边形 ABCD 为菱形；（2）如图，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD6，求弧AE 的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出ACBD即可得出结论；（2）先判断出AD=DC且DEAC，ADE=CDE，进而得出CDA=30，最后用弧长公式即可得出结论试题解析：证明：（1）四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，四边形ABCD是平行四边形以AD为直径的半圆过点E，AED=90，即有ACBD，四边形ABCD 是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，ADC为等腰三角形，AD=DC且DEAC，ADE=CDE如图2，过点C作CGAD，垂足为G，连接FOBF切圆O于点F，OFAD，且，易知，四边形CGOF为矩形，CG=OF=3在RtCDG中，CD=AD=6，sinADC=，CDA=30，ADE=15连接OE，则AOE=2ADE=30，点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键3如图的直径是弦BC上一动点与点不重合，过点P作交于点D如图2，当时，求PD的长；如图3，当时，延长AB至点E，使，连接DE求证：DE是的切线；求PC的长 【答案】（1）；（2）【解析】分析：根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出的长；首先得出是等边三角形，进而得出，求出答案即可；首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案详解：如图2，连接OD，的直径，在中，在中，；证明：如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，是等边三角形，是的切线；由知，在中，直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半，点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出是等边三角形是解题关键4如图，已知AB为O直径，D是的中点，DEAC交AC的延长线于E，O的切线交AD的延长线于F（1）求证：直线DE与O相切；（2）已知DGAB且DE=4，O的半径为5，求tanF的值【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：ODBC；由OB为O的直径，可得：BCAC，根据DEAC，可证ODDE，从而可证DE是O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tanF的值试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，D是弧BC的中点，OD垂直平分BC，AB为O的直径，ACBC，ODAEDEAC，ODDE，OD为O的半径，DE是O的切线；（2）解：D是弧BC的中点，EAD=BAD，DEAC，DGAB且DE=4，DE=DG=4，DO=5，GO=3，AG=8，tanADG=2，BF是O的切线，ABF=90，DGBF，tanF=tanADG=2点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键5如图，ABC内接于O，AB是直径，O的切线PC交BA的延长线于点P，OFBC交AC于点E，交PC于点F，连结AF(1)判断AF与O的位置关系并说明理由；(2)若AC24，AF15，求sinB【答案】(1) AF与O相切 理由见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接OC，先证OCF=90，再证明OAFOCF，得出OAF=OCF=90即可；（2）先求出AE、EF，再证明OAEAFE，得出比例式，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论试题解析：解：（1）AF与O相切理由如下：连接OC如图所示PC是O的切线，OCPC，OCF=90OFBC，B=AOF，OCB=COFOB=OC，B=OCB，AOF=COF在OAF和OCF中，OA=OC，AOF=COF，OF=OF，OAFOCF（SAS），OAF=OCF=90，AF与O相切；（2）OAFOCF，OAE=COE，OEAC，AE=AC=12，EF=OAF=90，OAEAFE，即，OA=20，AB=40，sinB=点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键6(8分)已知AB为O的直径，OCAB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有EDEF.(1)如图，求证：ED为O的切线；(2)如图，直线ED与切线AG相交于G，且OF2，O的半径为6，求AG的长【答案】（1）见解析；（2）12【解析】试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出EDF=EFD，由对顶角相等可得出EDF=CFO；由OD=OC可得出ODF=OCF，结合OCAB即可得知EDF+ODF=90，即EDO=90，由此证出ED为O的切线；（2）连接OD，过点D作DMBA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GAEA，从而得出DMGA，根据相似三角形的判定定理即可得出EDMEGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：（1）连接OD，ED=EF，EDF=EFD，EFD=CFO，EDF=CFOOD=OC，ODF=OCFOCAB，CFO+OCF=EDF+ODF=EDO=90，ED为O的切线；（2）连接OD，过点D作DMBA于点M，由（1）可知EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10sinEOD=，cosEOD=，DM=ODsinEOD=6=，MO=ODcosEOD=6=，EM=EOMO=10=，EA=EO+OA=10+6=16GA切O于点A，GAEA，DMGA，EDMEGA，即 ，解得GA=12点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出EDO=90；（2）通过相似三角形的性质找出相似比7如图所示，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A，速度为1cm/s，若，点O到AC的距离为4cm（1）求弦AC的长；（2）问经过多长时间后，APC是等腰三角形【答案】（1）AC=6；（2）t=4或5或s时，APC是等腰三角形；【解析】【分析】（1）过O作ODAC于D，根据勾股定理求得AD的长，再利用垂径定理即可求得AC的长；（2）分AC=PC、AP=AC、AP=CP三种情况求t值即可.【详解】（1）如图1，过O作ODAC于D，易知AO=5，OD=4，从而AD=3，AC=2AD=6；（2）设经过t秒APC是等腰三角形，则AP=10t如图2，若AC=PC，过点C作CHAB于H，A=A，AHC=ODA=90，AHCADO，AC：AH=OA：AD，即AC： =5：3，解得t=s，经过s后APC是等腰三角形；如图3，若AP=AC，由PB=x，AB=10，得到AP=10x，又AC=6，则10t=6，解得t=4s，经过4s后APC是等腰三角形；如图4，若AP=CP，P与O重合，则AP=BP=5，经过5s后APC是等腰三角形综上可知当t=4或5或s时，APC是等腰三角形【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况8如图,在RtABC中,ACB=60,O是ABC的外接圆,BC是O的直径,过点B作O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)连接EF,求证:EF是O的切线;(2)在圆上是否存在一点P,使点P与点A,B,F构成一个菱形?若存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）过O作OMEF于M,根据SAS证明OAFOBE，从而得到OE=OF,再证明EO平分BEF，从而得到结论;（2）存在，先证明OAC为等边三角形，从而得出OAC=AOC=60,再得到AB=AF，再证明AB=AF=FP=BP，从而得到结论.【详解】(1)证明:如图,过O作OMEF于M,OA=OB,OAF=OBE=90,BOE=AOF,OAFOBE,OE=OF, EOF=AOB=120,OEM=OFM=30,OEB=OEM=30,即EO平分BEF, 又OBE=OME=90,OM=OB,EF为O的切线. (2)存在.BC为O的直径,BAC=90,ACB=60,ABC=30, 又ACB=60,OA=OC,OAC为等边三角形,即OAC=AOC=60,AF为O的切线,OAF=90,CAF=AFC=30,ABC=AFC,AB=AF. 当点P在(1)中的点M位置时,此时OPF