2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题6.5 高考解答题热点题型-数列的综合应用目录一、题型全归纳1热点题型一 等差数列与等比数列的综合问题1热点题型二 数列求和4热点题型三 数列与不等式的综合问题8热点题型四 数列与函数的综合问题12一、题型全归纳热点题型一 等差数列与等比数列的综合问题【解题指导】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的【易错提醒】在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要注意结论的整合【例1】设数列an的前n项和为Sn，nN*.已知a11，a2，a3，且当n2时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列an的通项公式【解题思路】(1)当n2时，4S45S28S3S1，由此推出a4与a1，a2，a3的关系，求a4.(2)用anSnSn1(n2)及4Sn25Sn8Sn1Sn1推出数列an的递推公式求证为常数，其中nN*.(3)由(2)求出an1an构造等差数列，并求通项公式求an的通项公式【规范解答】(1)当n2时，4S45S28S3S1，即4(a1a2a3a4)5(a1a2)8(a1a2a3)a1，整理得a4，又a2，a3，所以a4.(2)证明：当n2时，有4Sn25Sn8Sn1Sn1，即4Sn24SnSn4Sn14Sn1Sn1，所以4(Sn2Sn1)4(Sn1Sn)(SnSn1)，即an2an1an(n2)经检验，当n1时，上式成立因为为常数，且a2a11，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列(3)由(2)知，an1an(nN*)，等式两边同乘2n，得2nan12n1an2(nN*)又20a11，所以数列2n1an是以1为首项，2为公差的等差数列，所以2n1an2n1，即an(nN*)则数列an的通项公式为an(nN*)【训练1】(2020吉林第一次调研测试)设Sn为数列an的前n项和，已知a23，an12an1.(1)证明：an1为等比数列；(2)求an的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？说明理由【答案】见解析【解析】：(1)证明：因为a23，a22a11，所以a11，因为an12an1，所以an112(an1)，所以an1是首项为2，公比为2的等比数列(2)由(1)知，an12n，所以an2n1，所以Snn2n1n2，所以nSn2ann2n1n22(2n1)0，所以nSn2an，即n，an，Sn成等差数列【训练2】已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S11，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比.【答案】见解析【解析】(1)设数列an的公差为d由题意可知整理得即an2n1.(2)由(1)知an2n1，Snn2，S416，S636，又S4SnS，n281，n9，公比q.热点题型二 数列求和【解题指导】(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等.【例1】已知数列an的前n项和Sn2n12，记bnanSn(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Tn.【解题思路】(1)利用an求an.(2)先由bnanSn，求bn并整理，再依据bn的结构形式选择求和方法【规范解答】(1)Sn2n12，当n1时，a1S121122，当n2时，anSnSn12n12n2n，又a1221，an2n.(2)由(1)知，bnanSn24n2n1，Tnb1b2bn2(41424n)(22232n1)24n12n2.【例2】(2019河北邯郸一模)已知数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，bnan2n1，且SnTn2n1n22.(1)求TnSn；(2)求数列的前n项和Rn.【解题思路】(1)TnSn转化为数列bnan的前n项和分组求和(2)求Sn求an求bn求用错位相减法求和【规范解答】(1)依题意可得b1a13，b2a25，bnan2n1，TnSn(b1b2bn)(a1a2an)(b1a1)(b2a2)(bnan)n(2222n)2n1n2.(2)2SnSnTn(TnSn)n2n，Sn，ann1.又bnan2n1，bn2nn，1，Rnn，则Rnn，Rnn，故Rnn2n2.【训练1】已知数列an满足an0，a1，anan12anan1，nN.(1)求证：是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)由已知可得，2，是首项为3，公差为2的等差数列，32(n1)2n1，an.(2)由(1)知bn(2n1)2n，Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，两式相减得，Tn622222322n(2n1)2n1.6(2n1)2n12(2n1)2n1，Tn2(2n1)2n1.【训练2】已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，且(t1)Sna3an2(tR).求数列an的通项公式；若数列bn满足b11，bn1bnan1，求数列的前n项和Tn.【解】因为a11，且(t1)Sna3an2，所以(t1)S1a3a12，所以t5.所以6Sna3an2.()当n2时，有6Sn1a3an12，()()()得6ana3ana3an1，所以(anan1)(anan13)0，因为an0，所以anan13，又因为a11，所以an是首项a11，公差d3的等差数列，所以an3n2(nN).因为bn1bnan1，b11，所以bnbn1an(n2，nN)，所以当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1anan1a2b1.又b11也适合上式，所以bn(nN).所以，所以Tn，热点题型三 数列与不等式的综合问题【解题指导】 数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.【例1】(2020山西大学附中模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且2Snnan2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：Tn4.【解题思路】(1)先根据2Snnan2an1和anSnSn1(n2)，推出数列an的递推公式，再求an.(2)根据的通项公式的结构形式，联系裂项求和法进行适当放缩，再求和，证明Tn4.【规范解答】(1)解法一：当n1时，2S1a12a11，所以a11.当n2时，2Snnan2an1，2Sn1(n1)an12an11.，得2annan(n1)an12an2an1，所以nan(n1)an1.所以.所以，即an.当n1时，a11也满足此式故数列an的通项公式为an.解法二：当n1时，2S1a12a11，所以a11.当n2时，2Snnan2an1，2Sn1(n1)an12an11.，得2annan(n1)an12an2an1，所以nan(n1)an1.所以.所以ana11.当n1时，a11也满足此式故数列an的通项公式为an.(2)证明：由(1)得an，所以4，所以Tn442nn2对一切nN*恒成立，求实数的取值范围【解题思路】(1)求证an1an为常数，其中nN*.(2)累加法求an分离变量把已知不等式变形为f(n)的形式求f(n)的最大值，得的取值范围【规范解答】(1)因为an1an2(bn1bn)，bn3n5，所以an1an2(bn1bn)2(3n83n5)6，所以an是等差数列，首项为a11，公差为6，即an6n5.(2)因为bn2n，所以an1an2(2n12n)2n1.当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n12262n12.当n1时，a16，符合上式，所以an2n12，由an2nn2，得.又0，所以，当n1,2时，取得最大值，故的取值范围为.【训练1】已知数列an中，a1，其前n项的和为Sn，且满足an(n2).(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：S1S2S3Sn1.【证明】(1)当n2时，SnSn1，整理得Sn1Sn2SnSn1(n2)，2，从而构成以2为首项，2为公差的等差数列.(2)由(1)可知，(n1)22n，Sn.当n1时，Sn