小题必练8： 功和功率(1)功的理解与计算；(2)恒力及合力做功的计算、变力做功；(3)机车启动问题；(4)功、功率与其他力学知识的综合。例1(2018全国III卷19)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第次和第次提升过程( )A矿车上升所用的时间之比为45B电机的最大牵引力之比为21C电机输出的最大功率之比为21D电机所做的功之比为45【答案】AC【解析】根据位移相同可得两图线与时间轴围成的面积相等，v02t0v02t0t(t0t)，解得tt0，则对于第次和第次提升过程中，矿车上升所用的时间之比为2t0(2t0t0)45，A正确；加速过程中的牵引力最大，且已知两次加速时的加速度大小相等，故两次中最大牵引力相等，B错误；由题知两次提升的过程中矿车的最大速度之比为21，由功率PFv，得最大功率之比为21，C正确；两次提升过程中矿车的初、末速度都为零，则电机所做的功等于克服重力做的功，重力做的功相等，故电机所做的功之比为11，D错误。【点睛】本题考查速度图象，牛顿运动定律、功和功率及其相关的知识点。此题以速度图象给出解题信息。解答此题常见错误主要有四方面：一是对速度图象面积表示位移掌握不到位；二是运用牛顿运动定律求解牵引力错误；三是不能找出最大功率；四是不能得出两次提升电机做功。1如图所示，木板可绕固定水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J。用N表示物块受到的支持力，用f表示物块受到的摩擦力。在此过程中，以下判断正确的是()AN和f对物块都不做功BN对物块做功为2 J，f对物块不做功CN对物块不做功，f对物块做功为2 JDN和f对物块所做功的代数和为零【答案】B【解析】由做功的条件可知：只要有力，并且物块沿力的方向有位移，那么该力就对物块做功。由受力分析知，支持力N做正功，但摩擦力f方向始终和速度方向垂直，所以摩擦力不做功。由动能定理知WNWG0，故支持力N做功为2 J。2(多选)物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。通过力和速度传感器监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律分别如图甲、乙所示。取g10 m/s2，则下列说法正确的是()A物体的质量m0.5 kgB物体与水平面间的动摩擦因数0.4C第2 s内物体克服摩擦力做的功W2 JD前2 s内推力F做功的平均功率3 W【答案】ABC【解析】由题图甲、乙可知，在12 s，推力F23 N，物体做匀加速直线运动，其加速度a2 m/s2，由牛顿运动定律可得，F2mgma；在23 s，推力F32 N，物体做匀速直线运动，由平衡条件可知，mgF3；联立解得物体的质量m0.5 kg，物体与水平面间的动摩擦因数0.4，选项A、B正确；由速度时间图象所围的面积表示位移可得，第2 s内物体位移x1 m，克服摩擦力做的功Wfmgx2 J，选项C正确；第1 s内，由于物体静止，推力不做功；第2 s内，推力做功WF2x3 J，即前2 s内推力F做功为W3 J，前2 s内推力F做功的平均功率 W1.5 W，选项D错误。3(多选)一质点在光滑水平面上处于静止状态，现对该质点施加水平力F，力F随时间t按如图所示的正弦规律变化，力F的方向始终在同一直线上，在04 s内，下列说法正确的是()A第2 s末，质点距离出发点最远B第2 s末，质点的动能最大C02 s内，力F瞬时功率一直增大D04 s内，力F做功为零【答案】BD【解析】从图象可以看出在前2 s力的方向和运动的方向相同，物体经历了一个加速度逐渐增大的加速运动和加速度逐渐减小的加速运动，第2 s末，拉力F方向反向，速度方向不变，所以2 s后，质点离出发点距离还在增大，故A项错误；第2 s末，拉力F方向反向，速度方向不变，物体要做减速运动，所以第2 s末，质点的速度最大，动能最大，故B项正确；01 s内，速度在增大，力F增大，根据瞬时功率PFv得力F瞬时功率一直增大，12 s内，速度在增大，但是随时间变化速度增大变慢，而力F随时间减小变快，所以力F瞬时功率有减小的过程，故C项错误；04 s内，初末速度都为零，根据动能定理得合力做功为零，所以力F做功为零，故D项正确。4(多选)如图所示为汽车的加速度a和车速的倒数的关系图象。若汽车质量为2103 kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30 m/s，则()A车所受阻力为2103 NB汽车在车速为5 m/s时，功率为6104 WC汽车的额定功率为6104 WD汽车匀加速所需时间为5 s【答案】ACD【解析】由图可知，匀加速直线运动的加速度为2 m/s2，汽车的最大速度为30 m/s，匀加速直线运动的末速度为10m/s。汽车匀加速直线运动的时间，故D正确；设汽车的额定功率为P，车所受阻力为f。当汽车速度最大时，汽车做匀速直线运动，根据功率公式，有汽车的额定功率为PFvmfvm，当s/m时，a2 m/s2，根据牛顿第二定律得fma，解得f2103 N，P6104 W，故AC正确；因为5 m/sm乙、甲乙可知a甲a乙，故C项错误；因甲、乙位移相同，由v22ax可知，v甲v乙，B项正确；由xat2可知，t甲f乙，则W甲克服W乙克服，D项正确。9如图所示，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球。一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度匀速转动，当杆与水平方向成60时，拉力的功率为()AmgL BmgLCmgL DmgL【答案】C【解析】由于杆做匀速转动，拉力的功率等于克服重力做功的功率，PmgLcos 60mgL，C项正确。10为了缓解城市交通拥堵问题，某市交通部门在禁止行人步行的十字路口增设了长度为12 m的“直行待行区”。如图所示，当其他车道的车辆右转时，直行道上的车辆可以提前进入“直行待行区”；当直行绿灯亮起时，可从“直行待行区”直行通过十字路口。如果该路段的限速为60 km/h，从提示进入“直行待行区”到直行绿灯亮起的时间为4 s。现某汽车司机驾驶着质量为1.5 t的小汽车，汽车的额定功率为63 kW，汽车的前端刚好停在停车线处，当司机看到上述提示时，立即由静止开始做匀加速直线运动，当汽车的前端运动到“直行待行区”的前端线时，正好直行的绿灯亮起，司机保持该加速度继续运动到额定功率后保持功率不变，汽车在运动中受到的阻力为车重的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，则：(1)在前4 s时间内，汽车发动机所做的功是多少？(2)从开始运动计时，经过12 s达到该路段限速，汽车经过的总位移是多少？(结果保留两位有效数字)【解析】(1)在这段时间内，汽车前进的位移为xat2汽车的加速度为a1.5 m/s2汽车受到的阻力fkmg3103 N根据牛顿第二定律Ffma牵引力做功WFFx由以上两式得WF6.3104 J。(2)设汽车达到额定功率时的速度为v，时间为t，位移为x1，则P额Fvvatx1at2设汽车以额定功率行驶的位移为x2，根据动能定理P额(tt)fx2mv2mv2由以上各式解得x148 m，x250.55 m汽车经过的位移xx1x299 m。11某品牌汽车在某次测试过程中数据如下表所示，请根