抵偿任意带高斯投影平面坐标系选择的研究 2008-12-8 9:40:28 新闻类别：地图制图论文-摘要:根据最小二乘法原理，在使长度综合变形vs平方之和为最小的条件下直接求得长度变形抵偿值S,，和相应的抵偿投影面高程Hm,，抵偿零点Yo以及用于测边控制网实量边直接进行抵偿投影改正Vs，的计算公式。另在每千米抵偿投影长度变形小于2.5 cm的条件下明确了抵偿任意带的分带宽度限值为110 km.关键词:最小二乘法;长度变形抵偿值;抵偿任意带宽度一、前言地图投影的方法有多种，各种方法都会因球面转换为平面产生系统性非线性变形。高斯投影是国际上普遍采用的投影方法，它具有保角映射之特点，长度变形随投影边地面高度和地理位置而异，在应用上则根据测量工程的需要和规范要求(每千米长度变形不应大于2.5 em)，设法削弱和限制长度变形，如文献1一3分别对高程抵偿面的选择问题作了一些有益探索，并给出了计算公式。经对文献的仔细分析，认为给出的两种方法没有遵循最小二乘法原理，即没有在VsV s为最小的前提下选取抵偿面和抵偿点，致使抵偿后综合变形总量由本来的正变形改成了负变形，这对本属真误差的变形来说，显然是不合理的，也违背了条件平差原则，这将从本文表1、表2中看到。对此，笔者提出一种利用最小二乘法原理与求函数平均值的算法，直接求得长度变形的抵偿值sit，进而求出对应的抵偿投影面高程H.和抵偿零点y。以及抵偿后综合变形vs，的计算公式，并对测区距中央子午线较远或测区东西范围较大(如东西向带状测区)时采用抵偿投影中央子午线的选择，任意带的分带宽度都作了较为详尽的分析，并推出了确切的计算公式。二、长度变形抵偿值与抵偿后长度综合变形计算1. 高斯投影长度变形计算公式由高斯投影知，将地面实量边长归算到参考椭球面上的变形S，可按下式计算AS ,= 一 S H /R ( 1)式中，S为归算边的长度;H为归算边高出参考椭球面的平均高程;R为归算边方向参考椭球面的曲率半径。可见，将地面实量长度归算到参考椭球面上，其长度总是缩短，且IASI与H成正比。将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形S2可按下式计算os 2= so yM i 2 Rm (2 )式中，S。为投影归算边长(So= S+ASI);y二为归算边两端点横坐标自然值的平均值;Rm为参考椭球面平均曲率半径。显然，将椭球面上长度投影到高斯投影面上，其长度总是伸长，且S:与Y-的平方成正比。由高斯投影知，长度综合变形vs等于两次投影变形之和，即vs =A S ,+ OS 2 (3 )由此可见，高斯投影的本身其长度变形已有不同程度的抵消，现在的问题是如何才能使其达到最大限度的抵偿。2. 长度变 形抵偿值与抵偿后长度综合变形计算分析上面 3式，可见决定V、大小的是S1和Os2。容易看出，当测区内YE( m in,Y. .)确定后，其对应的5:便有相应定值，那么S;就是确定vs的惟一因子。因以上公式中S1相对于S很小，R与Rm极为接近，对计算结果影响甚微，故下文中将S。取为S,R .取为R，取值为63 71k m,现令S1=S:二二Sn，则相应有Sill=AS,:二“=AS,。于是式(3)可改写为Vs,i =AS,+OS2,i (4)很明显，上式中，AS2,是Vs,、的对应定量，满足厂Vsys为最小的S;是一未知常量(设为SIP)根据最小二乘法原理VsvsI=V s,1+v2,2+v2s,。=(AS,+(As,+os2,2)2+(ASl +OS2,.)2 +AS2,1)2=最小应用函数求极值的方法，对上式.S,，取一阶导数等于零并整理后得AS,=一OS2/n=一S2 (5 )根据定积分中值定理对式(2)求平均值Ll3 2= Am a x 一 y m in J,-.y-.Y“2_YR22dym-晶几一十，maxymin+几 in)于是*。 ， :下;- s AS ,=一S:二一六2(YyZmax十Yma xYm in+yZmin) 6 R 了 “ 队 J “ 以 J ” “ ， j “ It ” ，(6 )式(6)就是长度变形抵偿值S,的计算公式。将式(2)、式(6)代人式(3)中，便得抵偿后长度综合变形(设为VS1VS二一6R 2k Y m ax+YmaxYmin +Ymin)+ S扮=S ， ， ， ， 、，_、6R2ksYm一Y;m. 一yma xym in 一Ymin少 (7)利用式(7)可直接对测边控制网进行抵偿投影计算。将式 ( 6) 代入式(1)中，便得到抵偿高(设为HO)，; _1 ， 2Ho“ 益 (Y max +Y maxym in +Y，min) (8)式(8)中，H。为归算边高出抵偿高程面的平均高程;抵偿高程面的高程Hm为(H。一Ho)。将式(6)代入式(2)中，便得yo二士,Ymax +yma xym in +Yinin3 (9)式(9)中，若ymin= 0 ，则可简化为1yo=万,rmax (10)若Ymax- 0 ，则可简化为1YO二万min (11)上面两种情况前者只有一个正抵偿点，后者只有一个负抵偿点，其长度变形的抵偿效果较差。当Yn,inIIYoI 三、算例比较与分析1. 测区位于中央子午线一侧设某测区yG(20k m,50 k m)，平均海拔为H二20 00m ,S =10 00m ,R =63 71k m，试确定抵偿投影面并计算和分析相应投影变形数据。按文 献 1计算公式yo =警丫，:一，min=38.07k相应算得:AS=一0.01 8m ,H ,=116m ，抵偿高程面高程H二1 886 m。按本文方法分别用式(6),(8)、式(9)算得:OS,=一0.01 6m ,yo =36.06k m,=102 m，抵偿投影面高程H,=1 898 m(表1).2. 测区位于中央子午线两侧设某测区yE(一20k m,40k m)，其余同上，试确定抵偿投影面并计算和分析相应投影变形数据。按文献1计算公式H, =1百x2x6371=63 m相应的抵偿投影面高程为H = 1 937 m, yo二28.28 km,OSI二一0.010 m。按本文方法分别用式(6)、式(8)、式(9)算得:AS,=一0.005 m, yo=20 km, Ho = 31 m，抵偿投影面高程Hm=1 969 m(表2)。表1、表2表明，文献1的方法使综合变形总量由正变形改成了负变形，且AsiAsi不为最小，这也说明了其方法的理论依据不正确，计算公式也不严密，如，。= 涯 /2m ax Iy m in I， y max 的计算公式就不严密，事实上y。完全取决于,Tmin 和yma x，这从本文给出的y。计算公式可以看出。文献2的方法也是思路性的错误，经计算分析证实测区位于中央子午线两侧时抵偿效果很差。本文的方法依据正确，能合理地抵偿区内各长度变形，并使得仁VSVS 最小，长度变形中误差m最小。达到了区内长度综合变形总量为零(见式(5)，即测区最远点yma x与最近点相对横向位移为零，这也符合条件平差原则。四、任意带分带宽度的确定测区平面控制网坐标系统最理想的是和国家坐标系统取得一致，使之成为国家网的组成部分。但是控制网要求根据平面控制点坐标反算的边长与实量边长尽可能相符(每千米的长度变形不应大于2.5 cm)，因此，当测区为东西跨度较大的线状工程(公路、铁路工程等)时，要使投影变形得以最大限度的削弱，使其满足工程测量精度的要求，就必须采用任意带抵偿投影的方法来实现。现依每千米长度变形不大于0.025 m为前提，按式(7)反求任意带分带宽度(1Ymi n!，了max)， 即VI:，二1000 (3ym- ym ax Y m axYmin-y m in)、0.6K 由式(12)不难看出，当y二取最大值时VS，为最大，顾及Ymin 和ymax互为相反数，故上式经相互替换计算得1ymin55.174 kmymax55.174 km(13)所以抵偿任意带的分带宽度应小于110 km，基本等同于10分带的最大宽度。五 、结论1. 长度变形的抵偿实质上是一种合理平差，其抵偿值S1的求定必须遵循最小二乘法原理。2. 抵偿值只与测区的地理位置和东西宽度(ymin+y m . .)有关，与测区高度无关，与抵偿投影面有对应关系。3. 改变测区投影带中央子午线，使其为对称投影，是缩小投影变形的主要措施，采用抵偿任意带投小，立镜人员不走冤枉路，并能很好地控制边界。分区的大小应适中，以编辑操作灵活为准。碎部点采集过程中，仪器设备的安全是首要间题，应严格遵守规范的作业程序与要求。测站定向时应顺便检查一下两点的相互关系，不要因为人员、车辆太多而放弃用其他已知点作检核。碎部点测量时要做重合点检查，即归零检查。作业员在定向完成后，马上找一远处高大明显目标，照准并读取水平角数据，随时检查测站情况。在充分利用已有控制的基础上，对一些测量死角应尽量用全站仪测量，这些地方的地物往往几何形状不规范，丈量起来既费时精度又没保障。一些规整又有明显分界的建筑物，采用两端实测，方向交汇法完成分界点采集，这样图形的表示即美观又准确，但要注意交角应在300一1500之间。一个测站完成后，不要急于搬站，花几分钟时间检查一下测站及周边地形地物情况，发现异常，核对确认，保证无错漏。作业中粗差产生的原因及其解决的办法。数字化测图中，误差不再是主要的因素，而粗差是我们面对的主要问题。如不同属性的点连在一起，相同属性点连错方向。为此，当完成一个区域后，成果回放到白纸上，实地100%检查是非常必要的。作业组可由4个人组成。作业中显示，2个立镜人员比1个立镜人员一天下来要多出1/3工作量。如果你想节约费用，不妨找2个年轻工人，经过一段时间磨合会很快配合默契的。但是一定要经常提醒注意设备的安全。既然是数字化成图，就要涉及图层、颜色、符号和注记等问题，这也是数字化测图和手工作业的主要区别。作业前根据要求，把什么样的地物用什么颜色放在那一层，一一对应好。对于符号的表达形式，应用软件是开放的，为此，作业中应设置好这些信息。对于注记管理文件，每种分类号对应一种注记控制信息，作业员注记时，根据注记属性的不同要求，在注记分类一栏输人正确的代码，就会得到标准尺寸的注记内容。每个分区完成之后，接下来是数据的合并整理。接边时注意属性和弧段及其走向的匹配，不要有人为的痕迹。确认数据的完整性之后是数据交换和图幅输出。作业员熟悉几种应用软件是非常必要的，像清华山维、AutoCAD、瑞得、南方KASS,A rc/Info等，可以方便与更多的用户进行交流。四、前景与展望1. 电子技术飞速发展，面向对象的技术开发和仪器设备的不断更新换代必将为测绘市场的发展带来生机。内外业一体化成图的最重要的特点是可以重复使用已有的数字化的地图数据成果，可以对数字地图进行任意比例尺、任意范围的绘图输出。可以方便地与卫星影像、航空照片等其他信息源结合，生成新的图种。利用一体化形成的等高线和高程点可以生成数字高程模型，将地表起伏以数字形式表现出来，可以直观立体地表现地貌形态。其高精度的作业方法，适合于房产地籍法定边界所用的数据以及某些高精度工程测量。总之，数字城市的建设，