第15讲 平面直角坐标系知识方法扫描 为了确定平面上点的位置，我们用互相垂直的有公共原点的两条数轴建立平面直角坐标系。平面上的每一个点，就和一对有序实数对应，这对有序实数称为点的坐标。 两条坐标轴将直角坐标平面分成四个象限，坐标轴不属于任何一个象限。经典例题解析http:/www.028aide.com http:/www.17kdy.com例1.（1998年广西初中数学竞赛试题）点A(-3,2)关于原点的对称点为B，点B关于x轴的对称点为C，则点C的坐标为 .解 B点的坐标为（3，-2），C点的坐标为（3，2）。评注：一般来说，点（m,n）关于原点的对称点为（-m,-n）; 点（m,n）关于x轴的对称点为(m,-n); 点（m,n）关于y轴的对称点为(-m,n).例2（2006年“信利杯”全国初中数学竞赛广西赛区初赛试题）在平面直角坐标系内，点在第二象限，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）解 , 解得。所以选D.评注： 对于一个点P（x,y）, 在第一象限时,x0,y0; 在第二象限时,x0; 在第三象限时,x0; 在第四象限时,x0,y0.例3. （2008年武汉市初中数学竞赛试题）在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点。如图（1）所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（ ）（A） 13 （B） 21 （C）17 （D）25解：选D 整点数：1+3+5+7+5+3+1=25例4 （1999年第14届江苏省初中数学竞赛试题）在直角坐标系中，已知点A（0，0），B（0，1），C（0，2），D（1，0），E（2，0），F（1，1），G（1，2），H（2，1），K（2，2），则点A，B，C，D，E，F，G，H，K中以其中四点为顶点的正方形有 个，以其中三点为顶点的直角三角形有 个。解 先将这些点画在直角坐标系中： （1）面积为1的正方形如ABFD有4个；面积为2的正方形有1个：BGHD，面积为4的正方形有1个：ACKE；一共有6个正方形。 （2）在一个面积为1的正方形如ABFD中，有4个面积为的直角三角形；在一个面积为4的正方形ACKE中，有4个面积为2直角三角形；在一个面积为2的长方形如ACGD中，有6个面积为1直角三角形（形如ACG的4个，形如DBG的2个）.故一共有44+41+64=44个直角三角形。例5 （1980年澳洲数学竞赛AMC试题）如果平面直角坐标系的轴以1厘米作为长度单位，PQR的顶点坐标分别为P(0,3)，Q(4,0)，R(k,5) ,其中0k0。因为S长方形OABC-SGEC =SOGC+SAGE+SBEC所以 解得同理，由S长方形OABC-SGFB=SABG+SOGF+SBFC，得 化简得 3a=32-6b.将代入上式得3a=72-9a 解得a=6.原版赛题传真同步训练一 选择题1（2000年广西“新世纪杯”初中数学竞赛试题）已知点P（a，b）在第二象限，那么点P1（-b，a-1）在（ ） (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限1. C 2（2003年哈尔滨第26届初中数学竞赛试题） 若a为整数，且点M（3a-9,2a-10） 在第四象限，则a2+1的值为（ ）（A）17 （B）16 （C）5 （D）42A由, 得3a0,那么P的位置在 ；如果ab=0,那么P的位置在 ；如果a2+b2=0,那么P的位置在 。6. 第一象限或第三象限；坐标轴上；原点。7（1997年哈尔滨初中数学竞赛试题） 已知A（0，0），AB=4，点B和点A在同一坐标轴上，则B点的坐标为 。7. (4,0)或（-4，0）或（0，4）或（0，-4）8（1983年太原初中数学竞赛试题）P（x0，y0）关于点A（1，-2）的对称点坐标是 。8. （2-x0，-4-y0）9（2007年第18届“希望杯”数学邀请赛培训题）如图所示，有一只蜗牛从直角坐标系的原点O向y轴正方向出发，它前进1厘米后，右转90，再前进1厘米后，左转90，再前进1厘米后，右转90，当它走到点P(n，n)时，左边碰到障碍物，就直行1厘米，再右转90，前进1厘米，再左转90，前进1厘米，最后回到x轴上，则蜗牛所走过的路程s为 厘米。9. 4n蜗牛从O(0,0)到P(n,n)所走过的路线长为2n厘米, 从P回到x轴走过的路线长也为2n厘米，一共是4n厘米。10（2007年第5届“创新杯”数学邀请赛试题）已知凸四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(0，0)，(3，0)，点E在边AB上，且CE平分BCD，DE平分CDA，EDC+ECD=90，那么BAD= 。10. 90如图，1=2，3=4，2+4=90，故DEC=90，5+6=90，又1+5=90，所以3+6=90，于是BAD=90。 三 解答题11如图是一个城市的街道图，五个人分别住坐标为A(1,6),B(2,4),C(3,1),D(5,3),E(6,5). 他们准备到街道的某处会面，使得五人所行路程之和最短，试指出这个会面的地点的坐标。11. 将纵横坐标分开来看，横坐标应该是3，纵坐标应该也是3. 所以相会的地点应该选（3，3）。12（2004年江宁区初中数学竞赛）把自然数按下图的次序排在直角坐标系中，每个自然数就对应着一个坐标。例如1的对应点是原点（0，0），3的对应点是（1，1），16的对应点是（1，2）.那么，2004的对应点的坐标是什么?12. 观察右图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上。因4522 025，由2n-1=45得n=23，所以2 025的坐标为（45，-45）。图中纵坐标为-45的数共有46个，2 0042 025-21，45-2124，13（2008年第6届创新杯全国数学邀请赛复试7年级试题）AOCD是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中O是坐标原点，点A，C，D的坐标分别为（0，8），（5，0），（3，8）。若点P在梯形内，且PAD的面积等于POC的面积，PAO的面积等于PCD的面积（1）求点P的坐标（2）试比较PAD和POC的大小，并说明理由。13(1)如图，过点P作PEy轴于点E因为PAD的面积等于POC的面积，所以3AE= 50E，即3(8- OE)=5OE，解得OE=3所以PAD的面积=POC的面积=7.5， PAO的面积=PCD的面积=(3+5)82-2x7.5 +2 =8.5则 即所以点P的坐标是(2)取O(0，6)，连PO，则从而 所以14（第一届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）图中有77=49个点，坐标都是整数。能否从这49个点中选出10点，使这10个点中的任何两个点的坐标(a,b) , (c,d)都满足条件：6|a-c|1 或 6|b-d|1? (如果能，请在图上把这10个点用“ ”标出来 ，不必说明理由；如果不能，请说明理由)