数学建模课程设计 报 告施肥效果分析04组摘要首先分别确定产量与施肥量之间的函数曲线类型，考虑函数所对应曲线的类型, 通常有三个参照指标: 一是绘制两个变量的散点图, 从图象的角度判断函数关系的类型; 二是根据给出变量的数据关系以及数据走向来判断; 三是根据所考虑变量之间内在的规律来讨论。本问题中, 我们需要考察的是土豆和生菜产量与各营养素之间的函数关系, 因此其间的内在规律是未知的, 所以我们采用前两种方法。对土豆和生菜利用DPS软件分别绘制出他们的产量与三种营养元素之间关系的散点图，拟合三变量之间的关系式。然后根据曲线类型对所求函数的对应关系进行假设，并利用已知数据计算出所需参数，最终确定变量之间的函数关系。利用F检验法对其函数进行检验。利用微分法得到土豆最佳施肥量生菜最佳施肥量和最优产量。关键词：施肥效果、散点图、曲线拟合、dps、微分法、F检验法一、 问题重述某地区作物生长所需的营养素主要是氮（ N ）、钾（ K ）、磷（ P ）。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中 ha 表示公顷， t 表示吨， kg 表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于 N 的施肥量做实验时，p与k的施肥量分别取为 196kg ha 与 372kg ha 。表1土豆产量与施肥量的关系施肥量（N）(kg/ha)产量(t/ha)施肥量（P）(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(K)(kg/ha)产量(t/ha)015.18033.46018.983421.362432.474727.356725.724936.069334.8610132.297337.9614039.5213534.039841.0418638.4420239.4514740.0927937.7325943.1519641.2637238.4333643.4624542.1746543.8740440.8329440.3655842.7747130.7534242.7365146.22表2生菜产量与施肥量的关系施肥量（N）(kg/ha) 产量 (t/ha) 施肥量（P） (kg/ha) 产量 (t/ha) 施肥量(K) (kg/ha) 产量 (t/ha) 0 11.02 0 6.39 0 15.75 28 12.70 49 9.48 47 16.76 56 14.56 98 12.46 93 16.89 84 16.27 147 14.33 140 16.24 112 17.75 196 17.10 186 17.56 168 22.59 294 21.94 279 19.20 224 21.63 391 22.64 372 17.97 280 19.34 489 21.34 465 15.84 336 16.12 587 22.07 558 20.11 392 14.11 685 24.53 651 19.40 由于当一种肥料施肥量改变时，另外的两种肥料都保持在第7个水平上，于是有如下3个方案：(n,245,465)，(259,p,465)，(259,245,k)。 二、 问题分析利用散点图对所拟合问题的曲线类型做出判断。首先要确定所求函数对应曲线的类型，然后根据曲线类型对所求函数的对应关系进行假设，并利用已知数据计算出所需参数，最终确定变量之间的函数关系。我们可以分别绘制出土豆和生菜的产量与施肥量的散点图，从图像的角度判断函数关系，再根据题目所给数据确定最终的函数。三、模型假设和符号说明3.1模型假设（1） 研究所的实验是在相同的实验条件（充分的水分供应、正确的耕作程序）下进行的，产量的变化是由施肥量的变化引起的，产量与施肥量之间满足一定的规律；（2） 土壤本身已含有一定数量的氮、磷、钾肥，即具有一定的天然肥力；（3） 每次实验是独立进行的，互不影响。3.2符号说明：的施肥量与土豆产量的关系: 的施肥量与土豆产量的关系: 的施肥量与土豆产量的关系：的施肥量与生菜产量的关系：的施肥量与生菜产量的关系：的施肥量与生菜产量的关系：对于土豆的施肥量：对于土豆的施肥量：对于土豆的施肥量：对于生菜的施肥量：对于生菜的施肥量：对于生菜的施肥量：土豆售价：生菜售价：的售价：的售价：的售价：土豆产量：生菜产量：购买肥料费用：肥用量：肥用量：肥用量：土豆获利：生菜获利四、模型的建立与求解考虑土豆产量与氮肥之间的数据变化, 可以看到, 当保持磷肥和钾肥施放水平不变时, 随着氮肥施用量的增加, 土豆产量也随之增加,但当施肥量达到一定程度( 336kg/ha) 后, 再增加施肥量时, 就会造成产量的下滑, 可以判断土豆产量与氮肥施用量之间应该可以用二次函数关系来拟合。其次考虑土豆产量与磷肥的关系, 当氮肥和钾肥都保持在确定的水平时, 可以看到, 随着磷肥施用量的增加, 土豆产量总体呈上升趋势, 但产量总的上升量仅为9.27, 说明磷肥的变化对土豆产量的影响比较小, 观察数据可以发现, 虽然随着磷肥施用量的增加, 土豆产量偶有下降的情况, 但基本上还是平稳上升。最后, 钾肥与土豆产量之间的关系比较复杂, 总体来看, 依然是随着施肥量的增加, 土豆产量也随之增加, 但增幅不太大, 而且尽管增加过程中有一次较大起伏( 78 水平) , 但最终趋势是趋向于平稳, 可认为其函数为指数关系。先考虑土豆与每一种肥料用量的函数关系, 我们利用所给数据来拟合这些函数关系。 假设土豆产量与三种肥料:N、P、K的用量之间的函数关系分别是w11 = f1 ( n) , w12 = f2 ( p) , w13 = f3 ( k)模型1土豆产量与施肥量N的散点图拟合结果 即同理生菜产量与施肥量N的散点图拟合结果即土豆产量与施肥量P的散点图拟合结果即生菜产量与施肥量P的散点图拟合结果即土豆产量与施肥量K的散点图拟合结果即生菜产量与施肥量K的散点图拟合结果即 如果用上面求出的拟合函数来表示相应的产量与施肥量的函数关系, 从拟合曲线的图形来看, 只有产量与N肥的用量函数有唯一极大值点。其它函数都不具这一性质,其规律是: P、K量越多,产量都会增加，但是随着P、K的施肥量的增加土豆的产量增长趋势缓慢。 利用微分法求解的结果是: 土豆当P、K固定在第7种水平,即时,而N的用量为,土豆的产量最大,最大值是;生菜当P、K固定在第7种水平,即时,而N的用量为，生菜的产量最大，最大值是, 模型2将土豆和生菜的产量都看成是N、P和K的三元函数设 和 分别是土豆和生菜的产量与三种肥料的施肥量之间的函数,这里用2 次多项式来拟合这两个函数。下面是用DPS软件求得的结果, 利用实验数在求拟合函数 和 时,发现只出现及其乘幂项,而没有交叉相乘的项。土豆的产量与所施N,P,K的关系为生菜的产量与所施N,P,K的关系为拟合效果如下图所示：求函数和的最大值。用微分法可以求出结果是: 当N、P和K的取值分别是, 土豆的产量最大,最大值是;当N、P和K的取值分别是时,生菜的产量最大,最大值是。五、模型的检验1.回归方程线性关系的显著性检验 1 显著性检验的目的是检验因变量y与自变量、.、（二元回归中为和）之间是否存在显著的线性关系。采用F检验。其统计假设为： 如果原假设被接受，则可认为这k个自变量(x)之间的线性关系不存在；若否定原假设，则可认为这k个自变量对因变量(y)的影响是显著的。可以证明，当成立时，统计量服从自由度为和的分布，即。于是可据此进行统计检验。自确定显著水平后，查表得临界值。当时。拒绝原假设；当时，则接受原假设，认为与、.线性关系不显著。1）首先检验对土豆产量的影响：已知所建回归方程为令则，其中因变量和自变量之间建立了线性回归关系。 由软件DPS可得到取显著性水平 ，查分布表得到临界值由于表明对产量之间存在显著线性关系。同理，对生菜所建立的回归方程为：可求得对产量之间存在显著线性关系。2) 其次检验对土豆产量的影响：已知所建回归方程为令则，其中因变量和自变量之间建立了线性回归关系。 由软件DPS可得到取显著性水平 ，查分布表得到临界值由于表明对产量之间存在显著线性关系。同理，对生菜所建立的回归方程为：可求得对产量之间存在显著线性关系。3) 最后检验对土豆产量的影响：已知所建回归方程为则其中因变量和自变量之间建立了线性回归关系。 由软件DPS可得到取显著性水平 ，查分布表得到临界值由于表明对产量之间存在显著线性关系。而对生菜产量的影响：所建回归方程为利用“双对数变换”使非线性模型转化为线性模型求解。对指数曲线，等号两边分别取对数得令 则其中因变量和自变量 之间建立了线性回归关系。由软件DPS可得到取显著性水平 ，查分布表得到临界值由于表明对产量之间存在显著线性关系。五、 模型的改进 以上只考虑了产量模型，根据实际情况，当施肥料带来的收入比用于购买肥料的费用多时，应该多施肥，否则，应少施肥。 设土豆和生菜的售价分别是a1和a2 (元/ kg) , N、P和K的售价分别中b1 , b2 , b3 (元/ kg) 。当N、P和K的用量分别是n, p, k ( kg/ha) 时,土豆和生菜的产量分别是w1 = f ( n, p, k) 和w2 = g ( n, p, k) ,而购买肥料的费用是h = b1 n + b2 p + b3 k (元/ ha) 利用DPS得土豆的产量与所施N,P,K的关系为生菜的产量与所施N,P,K的关系为土豆获利生菜获利用微分法可以确定最优解对于土豆：当, ，时，可求的的最大值，即获利最大。对于生菜： 当，, 时，可求的的最大值，即获利最大。六、参考文献 1 孙海珍，刘宝友，刘向林. 概率论与数理统计.北京:中国铁道出版社,2009。 2 张举刚.统计学.