第二讲高考中的数列(解答题型)I真题导缘1.(2014新课标全国卷I)已知数列an的前n项和为Sn,ai=1,anW0,anan+1=入n1,其中人为常数.(1)证明：an+2an=入；(2)是否存在力使得an为等差数列？并说明理由.解：由题设，anan+1=入61,an+1an+2=入n+11.两式相减得an+1(an+2an)=入n+1.由于an+1W0,所以an+2an=入(2)由题设，a1=1,a1a2=入11,可得a2=入一1.由(1)知，a3=入+1.令2a2=a1+a3,解得上4.故an+2an=4,由此可得32n1是首项为1,公差为4的等差数列，a2n1=4n-3；a2n是首项为3,公差为4的等差数列，a2n=4n1.所以an=2n1,an+1an=2.因此存在上4,使得数列an为等差数列.2.(2014江西高考)已知首项都是1的两个数列an,bn(bnW0,nCN*),满足anbn+1an+1bn+2bn+1bn=0.an.(1)令Cn=b,求数列Cn的通项公式；(2)若bn=3n一，求数列an的前n项和Sn.解：(1)因为anbn+1an+1bn+2bn+1bn=0,bnW0(nCN*),所以an +1an7= 2,bn+1bn即 Cn+ 1 - Cn= 2.所以数列Cn是以首项C1=1,公差d=2的等差数列，故Cn=2n1.(2)由bn=3n1知an=Cnbn=(2n1)3n1,于是数列an前n项和Sn=130+33+532+(2n1)3nT,3Sn=13+332+(2n3)3n1十(2门一1)3n,相减得2S=1+2(3+32+3n)-(20-1)3n=2(2n2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.圭I干整合数列求和常用的方法1.分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成Cn=an+bn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.2.裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差即 an=f(n+1) f(n)的形式c后通过累加抵消中间若干项的求和万法.形如a0(其中an是各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等.3 .错位相减法：形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列求和，一般分三步：巧拆分；构差式；求和.4 .倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：求通项公式；定和值；倒序相加；求和；回顾反思.师生共研型执dJ-八、八、等差、等比数列的综合问题命题角度(1)考查等差数列、等比数列的判定与证明；(2)考查等差数列、等比数列的综合运算.5 例1(1)设数列an的前n项和为Sn,且ai=t,an+i=2Sn+1(nCN*).1若tw2,求证：数列Sn不是等差数列；当t为何值时，数列an是等比数列，并求出该等比数列的前n项和Sn.(2)(2014重庆高考)已知an是首项为1,公差为2的等差数列，Sn表示an的前n项和.求an及$；设bn是首项为2的等比数列，公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求bn的通项公式及其前n项和Tn.师生共研(1)假设数列Sn为等差数列，则必有2S2=S1+S3,即2(a1+a2)=a十a1+a2+a3,所以a2=a3,又a2=2S+1=2a+1=2t+1,a3=2S2+1=2(a+a2)+1=2(t+2t+1)+1=6t+3,所以由a2=a3得2t+1=6t+3,即t=，这与tw1矛盾.故数列Sn不是等差数列.2 2由an+1=2Sn+1得an=2Sn-1+1(n2),两式相减得an+1an=2an,即an+1=3an(n2),所以当n/时，数列an是等比数列.a221+1要使n1时，数列an是等比数列，只需一=一=3,从而得t=1.a1t故当t=1时，数列an是以1为首项，3为公比的等比数列.所以an=3nT,所以Sn=3-=1(3n1).1 -32(2)因为an是首项a1=1,公差d=2的等差数列，所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故Sn=1+3+-+(2n-1)=na1+an=n1+2n-1=n2.2 2由得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q4)2=0,从而q=4.又因为b1=2,bn是公比q=4的等比数列，所以bn=b1qn1=24nT=22n1b11-qn2从而bn的前n项和Tn=-(4n-1).1-q3规律总结an+ 1-=q(q是非零常数)? an an证明（或判断）数列是等差（比）数列的四种基本方法（1）定义法：an+1an=d（常数）（nCN*）?an是等差数列;是等比数列；（2）等差（比）中项法:2an+1=an+an+2（nCN*）?an是等差数列;a2+1=anan+2（nCN*,an*0）?an是等比数列；（3）通项公式法：an=pn+q（p,q为常数）？an是等差数列；an=a1qn1（其中a1,q为非零常数，nCN*）?an是等比数列；（4）前n项和公式法：Sn=An2+Bn（A,B为常数）？an是等差数列；S=AqnA（A为非零常数，qw0,1）?an是等比数列.格创新漏溯1.已知数列an满足a1=1,|an+1an|=pn,nCN*.（1）若an是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值；_11一，（2）若p=2,且a2n-1是递增数列，a2n是递减数列，求数列an的通项公式.解：（1）因为an是递增数列，所以an+1an=|an+1an|=pn.而a=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.又a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2=a+3a3,因而3p2p=0,解得p=1或p=0.3当p=0时，an+1=an,这与an是递增数列矛盾，故p=：3是(a2n+1 a2n)+(a2na2n 1 )0.（2）由于a2nl是递增数列,因而a2n+1_a2n10,于但22n1寸,丁22n_1,所以|a2n+1a2n|a2na2n1|.由,a2n+1a2n0,因此a2n-a2n1=2n1=一区222n1由，即知，an+1an=2n.于是an=a1+(a2a)+(a3a2)+(anan1)n=1+12+2221n11n1211+2n411=+32nrn41一1故数列an的通项公式为an=o+o-332n1执声一八、八、数列求和问题命题角度(1)考查利用错位相减法或裂项相消法求和；(2)考查与奇偶项有美的分组求和.例2下表是一个由正数组成的数表，数表中各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，已知ai,i=l,a2,3=6,a3,2=8.a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4(1)求数列an,2的通项公式；ai.n(2)设bn=；,n=1,2,3,，求数列bn的前n项和S.an,2师生共研(1)设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q。),贝Ua2,3=qa1,3=q(1+2d)?q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)?q2(1+d)=8,解得d=1,q=2.a1,2=2?an,2=2x2n-1=2n.，n123n(2)bn=2n,则Sn=+了+9，ntt1123n则2Sn=M+3+/+小，两式相减得1Sn=；+1，222222n+12叱1n+2所以Sn=2-2n.正动探究a1,n若本例(2)中bn=a：+(1)%,)如何求Sn?解：由例题可知bn=2n+(1)nn,123nnSn=2+22+23+2n+1+23+(1)n.、几1123n设=2+22+23+十尹1123n则2Tn=”+9+7+矛，两式相减得2Tn=；+22+23+所以Tn=2-np2.又一1 + 2 3+ (-1)nn =2+n一审，n为偶数 故Sn =3 n n+ 2+大米后2 - 20)n为可数如律总结n为偶数，n为奇数，六招解决数列求和问题(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和.(2)错位相减法:(3)裂项相消法:(4)倒序相加法:(见主干整合(见主干整合(见主干整合(5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.(6)归纳猜想法：通过对 S1, S2, S3,的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出Sn,然后用数学归纳法给出证明.2.已知数列an的前n项和 求证数列bn是等差数列1+2(nCN*),数列bn满足 bn=2nan.CnCn + 2并求数列an的通项公式；的前n项和为Tn,求满足Tn2 时，Sn 1 = - an 1- 2 n2+2,1.- -an= Sn一Sn 1= an+an 1+ ?-)1.C .2an = an1+ 2 ，即 2an=2 an1+1.,加=2”2门，bn=bn1+1,即当 n12 时,bn bn1=1.又b1 = 2a= 1, .数列bn是首项和公差均为 1的等差数列.故 bn=i+(n1)i=n= 2nan, - -an= 2n.CnCn+2nn+2nn+21- -Tn = 1 - 3 +1-4 +1.5 +n1 n+1+ n n+21= 1+5n+1 n+225由 Tn21，佝 1125n+1 n+242，由于f(x) = +在(0, + 8)上为单调递减函数, x+1 x+21113f(4) = 30，f(5)=42,执声二八、八、数列与函数、方程的综合应用命题角度(1)以函数