道路的安全行驶路线摘要本文研究了汽车行驶安全，最短时间问题，为绘出路线图，兼顾安全行驶的情况下找到最短路线，运用插值、规划等方法，建立了插值拟合模型、规划模型，得到了由A到B的最短时间，并给出了安全行驶路线。对于问题一，针对补全道路的问题，本文采用三次样条曲线插值的方法补全了道路的另一条边。首先通过matlab软件读图，统一数据后取出路线上若干个点的坐标数据，通过三次样条曲线插值，得到出原路线在模拟坐标系下的函数以及其导数，然后将这若干个点沿着其法线方向平移3个像素单位，得到新的点的坐标数据，再次利用三次样条曲线插值，即可得到道路的另外一条边的连续曲线，很好的绘出了道路的另一条边。对于问题二，本文针对给出行车安全行驶路线的问题，兼顾弯极限速度、曲率半径等因素，建立了优化模型，解决了汽车由A到B最短时间问题。首先假设该道路为双向8车道，汽车由直道进入弯道前有加速减速缓冲区域，由曲线积分可以算出总道路长、弯道道路长。由运动学公式可以算出加速减速缓冲区域长度和缓冲时间，而对于单向4条车道的三处不同弯道具有不同的长度和转弯速度，由曲率半径与转弯速度的关系计算出汽车在不同弯道不同车道的最大转弯速度，采用规划的方法，建立优化模型，在保证车速安全的条件下可得到汽车在不同车道过不同弯道处的时间的最小值，在得到汽车通过直线和缓冲区域的时间的前提下，可得到三处时间的总和即最短时间为899.917秒。关键词 插值拟合模型 三次样条曲线插值 曲率半径与速度 优化模型 一、 问题重述如图，某人驾驶一辆小车从A到B，该路线全程道宽30米。1) 按路线道宽绘出路线图；2）请给出其沿该道路的安全行驶路线，并求到达的最短时间。二、 问题分析对于问题一，绘路线图是一个作平行线的问题。题目所给图片为 BMP 格式1354*613 的两色图。其中实际的图象数据是我们所需的，需用计算机编制程提取出来。对于2色位图，1 位就可以表示该象素的颜色：0 表示黑色，用1表示白色。BMP文件的数据是从下到上，从左到右读取的，每个坐标点的y值都是随x值连续变化的，为了提高精度，本文采用三次样条曲线插值确定路线的函数表达式和导函数，将这若干个点沿着其法线方向平移3个像素单位，得到若干个新的坐标点，再次利用三次样条插值，描出新的连续曲线，则该连续曲线即为道路的另一条边。对于问题二，30米的车道是双向8车道，将道路分为直道，缓冲区域，弯道。本文建立了优化模型，在保证安全的条件下，由曲率半径和速度的关系算出汽车在不同车道不同弯道上行驶时的最大安全速度，根据曲线积分算出每条道路的长度，由速度与路程的关系分别计算出汽车在不同弯道上的最短时间，结合汽车在直道和缓冲区的行驶时间，从而解决了所求的最短安全行驶路线的问题。三、 模型假设1. 假设该道路为双向8车道；2. 在直线道路和部分弯道汽车能保持匀速行驶；3. 道路上只有一辆汽车在行驶；4. 汽车在直线部分匀速的速度为120；5. 汽车在加速和减速阶段都以最大加速度制动；6. 汽车型号为奥迪A62.0L型轿车；7. 忽略汽车在变道过程中的时间；四、符号说明：第个节点的横坐标；：第个节点的纵坐标；：平移后第个节点的横坐标；：平移后第个节点的纵坐标；：给出的道路曲线函数；：平移后道路的另一条边的函数；：第个节点的横坐标与第个节点的横坐标之差；：第条车道第个弯道处的曲率半径；：第条车道第个弯道处的所允许的最大过弯速度；：每辆汽车自身最大转弯速度；：第条车道第个弯道的长度；：第条车道第个弯道的时间；：汽车在3个弯道处的总时间；：第个的缓冲区域长度；：汽车进入第个的缓冲区域前的初速度；：汽车加速阶段加速度；：汽车减速阶段加速度；：缓冲区所花费的时间；：缓冲区的总长度；：A到B的路线总长度；：汽车在直线上行驶的时间；：汽车在直线上行驶的速度；：汽车行驶的总时间；五、模型的建立与求解 问题一 模型的分析绘路线图是一个作平行线的问题，用计算机编程提取我们所需要的图像数据，将图像放置于平面坐标系x-y中。在这些图像数据中取出30个点的坐标，采用三次样条进行插值，得出该条道路的函数表达式以及其导数。将这30个点沿着其法线方向平移3个像素单位，得到另外30个点的坐标值，再次运用三次样条函数插值，求出道路的另一条边的函数表达式，即得出道路线路图。 模型的准备本文建立了插值模型，根据样条函数插值方法，现给出样条函数的一般概念为模型的建立做准备。5.1.2.1三次样条函数的选择对于上的分划，则其中 即为三次样条函数。5.1.22三次样条函数插值条件的确定本文选用的插值条件如下：已知插值节点和相应的函数值以及两个端点处的导数值，求，使满足条件 有了上述插值条件，就可以保证插值之后的曲线和原道路边线衔接较为平滑。我们采用图中33个点的数据，其中为模拟坐标系中道路上第i点的横坐标，为模拟坐标系中道路上第i点的纵坐标，对应关系如表一，对道路的一边进行三次样条曲线插值，即为所求道路的一条边。表一 图中部分个点的横纵坐标X60109176198295338364Y290368420431496571590X522536529525454435431Y410355318310231202193同时，还可以得到该连续曲线的导数，由切线与法线的关系将每个节点沿着法线方向平移3个像素单位，得到新的33个节点（见表二），再次利用三次样条曲线插值，即可求出道路的另一条边。 三次样条插值模型的求解由于在区间上是一个分段光滑，且具有二阶连续倒数的三次多项式，则在子区间上是线性函数，记为待定常熟，由拉格朗日插值公式可以得到显然在上位常数。于是在上有，则当时，由上式和问题可知，故可解得由上述两式得在有 根据的一阶导数连续性，由上式得结合上式整理得引入记号于是则 再由边界条件：得联立上述两式得方程组 其中，由上述方程组可以唯一解出，代入（5.8）式就可以得第一条边的三次样条函数的表达式：。同理，道路另一条边的表达式：=运用MATLAB的相关命令，可以求出沿法线方向平移后点的坐标，再次利用三次样条插值模型求解，得到道路的另一条边，补全之后的道路如下图(原图见附录)。 问题二： 模型分析采用优化的方法，建立优化模型，在保证安全的情况下计算出最短时间，汽车最短时间的行驶路线即为所求路线。 优化模型的建立 假设每个车道3.75米的情况下，将所取的33个点依次向法线方向平移3.75米，依次计算出每天车道边界线所在曲线的函数表达式。对于3个弯道的4个车道利用曲率半径由公式计算出第条车道第个弯道处的曲率半径表二：圆曲线半径和速度的关系设计速度（km/h）1201008060403020圆曲线最小半径 （m）10007004002001006530利用excel对速度与曲率半径的数据拟合，得到速度与曲率半径的关系如下式从而得到第 条车道第 个弯道处的所允许的最大的安全过弯速度，不能大于每辆汽车自身最大转弯速度。由平面曲线弧长公式知第 条车道第 个弯道的长度由速度公式知汽车过第 条车道第 个弯道的时间，故可得汽车在3个弯道处的总时间为定义汽车在行驶过程中的缓冲区域为加速和减速阶段的区域，则在此次行驶过程中，汽车一共经历五次加速减速过程，故第 个的缓冲区域长度由动力学公式可得到，汽车在缓冲区经历加速和减速过程，加速阶段加速度为，减速阶段加速度为，故可据此计算出在缓冲区所花费的时间和缓冲区的总长度。而由A到B的路线总长度经过缓冲区域的时间，汽车在直线上行驶的时间于是，该车行驶的时间问题应该满足下面的优化模型。目标函数为总的时间最短，即 模型求解 对三个弯道处的时间进行求解由曲线积分计算出第 条车道第 个弯道处的曲率半径，由曲率半径与速度的关系一次算出汽车在第 条车道第 个弯道处的速度，根据速度与路程的关系计算出三个弯道处的时间。STEP 1：将33个点依次平移3.75米算出每条道路每个弯道一共12条弯道的长度；STEP 2：分别计算出3个弯道在4条道路上的曲率半径；STEP 3：由曲率半径与转弯速度的关系式计算出每条道路每个弯道的转弯速度；STEP 4：由速度与路程的关系计算出过第条弯道所需最短时间 ；表三：第 条车道第 个弯道的长度弯道弯道长度车道1231654.0832674.5815137.5372649.0642664.1685127.1233644.0592653.7735116.7294635.4192633.2485096.204表四：通过第 条车道第 个弯道的时间弯道时间车道123127.047562.0180209.8411226.917361.8449210.4701326.787361.6298210.5343426.583961.3233210.2135 求解缓冲区的时间得到入弯速度和出弯道的速度后由运动学公式即可得到缓冲区域的长度，由速度路程的关系即可得到汽车在缓冲区域的行驶时间。STEP 1：根据汽车加速减速阶段前后的速度，利用公式求出每个缓冲区的长度；STEP 2：根据速度公式关系求出每个缓冲区的时间；STEP 3：求出缓冲区的总时间和缓冲区的总长度。 求解在直道上行驶的时间用总长度减去弯道长和缓冲区域长度即可得到直线上匀速的长度，由速度路程的关系即可得到汽车在直线段上匀速的时间。STEP 1：用总直道长度减去缓冲区的长度得到汽车在直道上匀速行驶的长度；STEP 2：根据速度公式算出匀速行驶的时间。 结果分析在3个弯道处的行驶路线如下：过一个弯走第四车道所用时间最短，过第二个弯走第四车道时间最短，过第三个弯走第一车道所用时间最短。最终=899.917汽车进入各个弯道的速度如下表表五：汽车进入弯道的速度弯道123车道441速度86.94097.615102.052六、模型的评价与改进本文是关于补全路线求最短的安全行驶路线的问题，对于给出的一条道路边，通过三次样条插值和平移的方法，补全了路线，在求解最短路线时考虑到曲率半径，兼顾了最大转弯速度，为行驶路线提供了既安全又最短的路