例4-13 证明，是R3的一组标准正交基 分析：证明已知量是一组标准正交基，可以分两步证明： （1）证明所给向量两两正交，且为基 方法：求所给向量的两两内积，如果内积等于零，则两向量正交； （2）每个向量的长度等于1 方法：求每个向量的长度，判断长度是否等于1 证明： （1）证明所给向量两两正交 ，所以，与正交；，所以，与正交；，所以，与正交； 有以上证明可知，所给向量、两两正交 又由于三个向量都是3维向量，所以、是R3的一组正交基 （2）证明、的长度都是1 ； ； 有以上证明可知，所给向量、是R3的一组标准正交基 例4-14 设，是R3中的向量，试求在上的投影向量，投影长度；在上的投影向量和投影长度 解：=14+2(-1)+33=11， ， ，在上的投影向量为在上的投影纯量，或称为投影长度为在上的投影向量为在上的投影纯量或称为投影长度为例4-15 将R4中向量组(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，(0，-1，3，2)标准正交化解：1证明所给的三个向量是线性无关的向量以所给的三个向量为行的矩阵为用矩阵的第三行加第二行得 所以r(A)=3，所以三个向量线性无关2用施密特法将向量组正交标准化（1）正交化构建两两正交向量组令 （2）标准化将正交向量组中的三个向量单位化， ， 至此完成了向量(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，(0，-1，3，2)标准正交化，得到一个标准正交向量组，3