数学竞赛中的平面几何问题选讲例1（2005年福建省竞赛题）在直角三角形ABC中，它的内切圆分别与边、相切于点、，联结，与内切圆相交于另一点，联结，、，已知，求证：（1）；（2）。证法1 （1）联结，则是等腰直角三角形，于是，故。又，则，所以，（2）由，知，。于是，注（调和四边形）。故由得，因，结合得。，从而也是等腰三角形。于是，所以。例2 （2005年福建省竞赛题）已知的内心为，内切圆与边，分别相切于点、，联结与内切圆的另一个交点为，过点的切线交的延长线于点，求证：（1）；（2）。证法1 （1）在中，由射影定理可得，有。而，故。（2）联结、。因为、四点共圆，并由（1）可得。所以，点在四边形的外接圆上，故，即。注：只要点与，不共线且在上，则均有，且。若、三点共线，则、三点也共线，反之亦真。例3 （2008年四川省竞赛题）已知与的、分别相切于、，与外接圆相切于点、是的中点，求证。证明 如图，连接、和。因为、分别与相切于、，所以。由和都是的半径，可知所以由对称性知，且于点。因此即又因为，可知，由，过点作两圆的公切线，则，又因为，即，则故。例4 （2006年福建省竞赛题）如图，为的外接圆，、分别为中线和角平分线，过点、的的切线相交于点，联结，与和分别相交于点、。求证：点是的内心。证法1 先证明是的平分线，即证。如图，作于，联结，则。又，则。所以。由，故，则。再证是的平分线。由是中点，则知过点，且。联结、，则由切割线定理及射影定理，可得，即知、四点共圆。于是，。故，即点是的内心。证法2 设直线交于、如图，则在上，在直线上，由，且、调和分割，则知平分，即平分。由，且、调和分割，则知平分，故为的内心。例5 （第五届西部数学奥林匹克题）如图，过圆外一点作圆的两条切线、，、为切点，再过点作圆的一条割线分别交圆于、两点，过切点作的平行线分别交直线、于、。求证。证明 联结、，则，所以。从而，即。 又，所以，即，即。 另一方面，因为，所以，。而。所以 于是，故由、三式即知。注 设交于点，则、为调和点列，、；、为调和线束而交线于，交直线于，交直线于，则。例6 （2001年湖南省夏令营试题）自圆外一点引圆的两条切线、，其中、为切点，过点任意引圆的一条割线交圆于、交于点。证明：证法1 如图 因若作于，则为的中点，且。则。 为证，只需证。由，、四点共圆。又（公用），从而。故式成立，从而式成立。证法2 如图延长到使，则。延长到，使，易得。又公用，。证法3 要证原等式成立，即要证。由斯特瓦尔特定理可得证法4 要证，即证：，又，则、四点共圆。，。又，即，。同理，即，原命题即证。证法5 由，即证，即证延长交圆于，则。对及边上的点运用斯特瓦尔特定理，有。又由，得，即亦即。证法6 设交于，作于，则为中点。 。 。由，。由，可得 。由，可得。，注 （1）亦即有此说明点、调和分线段。（2）联结、，则四边形中，有，即四边形为调和四边形（由三角形相似有）例7 （2008年福建省竞赛题）如图，已知锐角外接圆半径，的重心和外心分别为和。联结与的延长线交于点。（1）求凹四边形的面积；（2）求的值。解 （1）如图，联结，作于，注意到为的外心及，知，。由欧拉线的性质知。由正弦定理，知。于是，凹四边形的面积为。（2）由于，又为的重心，则因此，、四点共圆，有。注意到为的外心，由圆幂定理有。因此，可知，即。例8 （2009年福建省竞赛题）如图与线段切于点，且与以为直径的半圆切于点，于点，与以为直径的半圆交于点，且与切于点，联结，。求证（1）、三点共线；（2）；（3）。证法1 （1）设的中点为。由题设条件知与内切于点，故、三点共线。联结。由，切于点知，。因为，所以，即知、三点共线。（2）在中，由切割线定理知。联结，由于，则、四点共圆，故。联结，则。因此。故。（3）延长至点，使，联结，由（2）中知。故。证法2 （1）由设直线交以为直径的圆于，则为所在弦对的弧的中点。而是垂直于的直径，从而与重合，故、三点共线。（2）同证法1 有。联结，在中应用广勾股定理。有，即（3）由三角形的广勾股定理，有。而，则。例8 （2004年北京市竞赛题）如图，、分别表示的外心与内心，已知，求证：。证明 联结并延长交于，联结，则为弧的中点，所以，所以。作关于直线的对称点，则在上。于是， ，所以，因此，是等边三角形，即有。又因为，所以为的平分线，则。从而例9 （2006年南昌市竞赛题）如图，四边形内接于圆，是的中点，、，是线段和的交点，求证：。证明 作于，作于，则。设与交于点，由、四点共圆，有，从而，故知。因为等腰三角形，则是的中点，而点、分别为四边形各边的中点。从而知四边形为平行四边形，故。例10 （2005年辽宁省竞赛题）在凸四边形中，于，是的内心，是的中点，求证，且。证明 如图，分别取、的中点、。联结，则由知，且过点，联结、。由，及且知。 且又，从而。由，知。而。由、知，因此，即。延长交直线于点，由，因而等价于四点共圆，所以。由有，又垂直平分，则，故。例11求证： 三角形的外心，一个旁心及旁切圆切点三角形的重心三点共线。证明 设为的外心，是内的旁切圆圆心，切边、边的延长线、的延长分别于、，为的重心。联结交于，交于，联结、，设与交于点，联结，令，的外接圆半径为，显然为劣弧的中点，。对三弦、应用正弦定理（即托勒密定理的变形）得。于是，。而。 故。由，知，则。故又，则而为的中点，所以是的重心，从而与重合。因此、共线。例12 （2007年南昌市竞赛题）如图，四边形，四边形皆为直角梯形，其中，、在一直线上，是梯形内的一点，满足，求证：。证明 以点为圆心，为半径作，由于，故点在上。以点为圆心，为半径作，由于，则点在上。设两圆的另一交点为，则连心线垂直于公共弦。设直线交于点，交于点。因，故为两圆的外公切线，所以。则是直有梯形的中位线，从而。在上取点，使，则，。在与中，因，则。即有，亦有。因此，是的平分线，故。例13 （2008年天津市竞赛题）如图，已知锐角的三边、的中点分别为、，在、的延长线分别取点、。若，证明的外心为的垂心。证明 设的三条高线分别为、重心为。又设交于点，则 同理，。因为 ，且有。所以 ，因此为的外心。例14 （2008年山西省竞赛题）如图，以的一边为直径作圆，分别交、所在直线于点、，过点、分别作圆的切线交于一点，直线与交于一点。证明、三点共线。证明 联结、，则。由，得以为圆心，为半径作，交直线于点，则。从于与重合，所以，且，得，因此，是的重心。所以。又因为，故、三点共线。例15 如图，在中，点在的外接圆圆的弧弧（不含点）内，。联结并延长至点，使得，联结交圆于点，联结，记的外心为。求证：、三点共线。（同上）证明 用同一法。如图，设的外接圆圆与的延长线交于点，联结、。因，所以，四边形是圆内接四边形。故又、四点共圆，则由式、得。以点为圆心、为半径作。则点、在上，结合式知，点也在上，故为的外心。这就表明，点也重合，即的外心位于的延长线上。例16 （2009年西部数学奥林匹克题）设为锐角的垂心，为边的中点，过点的直线分别交边、于点、，使得，射线与的外接圆交于点。求证：、四点共圆。证明 如图，延长至点，使，联结、。因为为边的中点，所以，四边形为平行四边形，于是即。因此，点在的外接圆上。如图，联结、。因，为的垂心，所以， 。 结合式、知。由四边形是平行四边形知，。于是，。 又为边的中点，则故由，得， 结合式、知。因为，所以，。于是，。从而，、四点共圆。例17 在中，是边上的高，点、分别是，的内心，射线、分别交、于点、，直线分别交、于点、。求证：（1）；（2）；（3）点在角平分线、的射影内切圆半径。证明：（1）如图，易知，与，与分别是、的两组对应线段，利用相似三角形性质，得，即有，亦即。又，知，于是，从而、四点共圆，则。由于平分，为公共边，则，即有。令、，则。由及三角形内心性质有。又，于是。得，即，故。（2）由，知。从而、四点共圆。同理、四点共圆。又为相交两圆的公共弦，有。故。（3）设内切圆圆心为、切边于，则、五点共圆，且其直径为。又；故。的半径。例18（中等数学2010（5）数奥训练题129）如图，的三条高线、交于点、是内的任意一点，求证：、的外心、三点共线。证法1 过点作直线、与的三边、所在的直线分别交于、，联结、，则易知这三条线段的中点分别是、的外心、。首先证明：、三点共线。注意到：若平面上一个角的两边与另一角的两边对应垂直，则这两个角相等或互补，可推之、。于是对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知、三点共线。接下来证明：、分别三点共线，作出的三边的中点。分别记为。易知，、和、分别三点共线，则，于是，由梅涅劳斯定理（对）知、三点共线。证法2 点对的外接圆的幂为对的外接圆的幂为，对的外接圆的幂为。由、共圆，知。同理，即点对三个圆的幂相同。（三圆的公共点）又显然点对这三个圆的幂相同。于是，直线是这三个圆中任意两个圆的根轴。因此，、的外接圆除点外还有一个公共点，且通过点。由连心线垂直平分公共弦知，、三点均在线段的垂直平分线上。例19 如图，与内切于点，是小圆上一点，过点的切线交大圆于、，直线交于，联结、分别交于、，直线与交于点，直线、分别交于、，则、；、分别三点共线。证明 延长到，使，联结、，设与交于点。由于为弧的中点，有，又，则。从而，。由平分，有。由，。从而，于是，即有。由，有。又与均为等腰三角形，且顶角相等，则。于是，、四点共圆，则，故、共线。同理、三点共线。例20 如图，内切于于，的弦与相交于、，过点、的圆与内切于点，过点的的弦交于点，则的充要条件是点为弦的中点。证明 连接交于，连接交于，连、，连接交于，连，过作的切线。由，知，即有弧弧，亦即，于是下面证明为的中点。 充分性，设为的中点，则。过作的切线与交于，则点为根心，即点在直线上，连交于点，则，且。由，知、四点共圆。有。又，从而。必要性，由