3-3 平面体的投影 复杂物体都可以看成由若干基本体组合而成。基本体有平面体和曲面体两类。表面都是平面的立体称为平面体，如棱柱、棱锥；表面含有曲面的立体称为曲面体，常见的曲面体是回转体，如圆柱、圆锥、圆球等。一、平面体的投影作图立体的投影图是立体各表面投影的总和。平面体的表面都是平面，平面与平面的交线都是直线，因此画平面体投影图的实质就是画给定位置的若干平面和直线的投影。运用前面所学的点、直线及平面投影特征，便可以完成平面体的投影作图。1.棱柱的投影作图（以六棱柱为例）（1）首先将棱柱放置一个适当位置要尽可能多的让棱柱的主要表面和棱线与投影面平行或垂直，以方便画图和看图。图3-43a所示，六棱柱的顶、底面为水平面，前、后棱面为正平面，左、右两侧的棱面为铅锤面。图3-43 正六棱柱的投影作图（2）具体画图1)画对称面的投影 用细点画线画出立体对称面有积聚性的投影。该六棱柱前后对称，对称面是正平面，用细点画线画出该平面有积聚性的投影（H面投影、W面投影）；同理画出六棱柱左右对称面有积聚性的投影（V面投影、H面投影）。2)画顶、底面的投影 顶、底面是水平面，先画反映实形的H面投影（正六边形），再画有积聚性的V面投影和W面投影（图3-43b）3)画六个棱面的投影 六个棱面的H面投影都积聚在正六边形的六条边上；前、后棱面V面投影相互重叠且反映实形，W面投影积聚为Z轴的平行线；左、右四棱面V面投影、W面投影都是缩小的类似形（矩形），并且投影发生重叠（图3-43c）。4）检查加粗图线 可见轮廓线的投影用粗实线绘制，不可见轮廓线的投影用细虚线绘制，对称面、轴线的投影用细点画线绘制（细点画线应超出图形25毫米），三种图线相互重叠时，优先表达前者（图3-43c）。说明：画立体三面投影图的目的是用一组平面图形来表达物体的空间结构形状，将上述六棱柱放置在H面上或离H面一定距离，画出的三面投影图的图形是相同的，因此画立体三面投影时不必画出投影轴（图3-43d）。棱柱的投影特征：一面投影为多边形，多边形的各边是各棱面投影的积聚，另两面投影均为一个或多个矩形线框拼成的矩形框（图3-44）。图3-44 棱柱的投影特征2.棱锥的投影作图（以五棱锥为例）（1）首先将棱锥放置一个适当位置图3-45a所示，五棱锥的底面为水平面，后棱面为侧垂面，其余四棱面为倾斜面。图3-45 五棱锥的投影作图（2）具体画图1)画顶心线的投影 过锥顶与底面垂直的直线称为顶心线，用细点画线画出顶心线的三面投影。凡轴线、顶心线的投影积聚为一个点时，应用垂直相交的两条细点画线交点表示其投影（图3-45b）。2)画底面的投影 底面是水平面，先画反映实形的H面投影（正五边形），再画有积聚性的V面投影和W面投影（图3-45b）。3)根据五棱锥的高确定锥顶S的三面投影 锥顶位于顶心线上，根据五棱锥的高定出锥顶S的三面投影（图3-45b）。4）将锥顶与底面各角点的同面投影相连得五个棱面的三面投影（图3-45c）。5）检查加粗图线（图3-45c）。棱锥的投影特征：一面投影是共顶点的三角形拼合成的多边形；另两面投影均为共顶点且底边重合于一条线的三角形拼合成的三角形（图3-46）。图3-46棱锥的投影特征3.棱台的投影作图 切掉头部的棱锥称为棱台，因此棱台的投影作图与棱锥的投影作图类似。首先仍然是将立体放置一个适当的位置，然后画出反映实形的顶、底面投影，再将顶、底面各对应角点相连得各棱面的投影（图3-47）图3-47 四棱台的投影二、平面体表面的点和直线平面体的表面都是平面，因此在平面体表面取点、取线的作图与在平面上取点、取线的作图基本相同。但由于平面体各表面的投影存在相互遮挡，因此在平面体表面取点、取线，需要判断点、线投影的可见性。例3-17已知点K、点M在三棱锥表面上，并且点K的H面投影k已知，点M的V面投影m已知，求作点K、M的其余投影。图3-48 在三棱锥表面取点作图求点M的其余投影：1) 首先判断点M位于哪个棱面上。因（m）为不可见，点M位于棱面SAC上。2) 再判断点M所在棱面的投影有无积聚性，有：利用积聚性直接求解；没有：则需作辅助线求解。棱面SAC为侧垂面，其W面投影积聚为一直线， m必定位于该积聚的直线上。因此，可由（m）求出m；再 由（m）和m求出m（图3-48b）。3) 判所求投影的可见性。由于棱面SAC的H面投影可见，故m可见；m在棱面投影积聚的直线上，一般不判可见性。求点K的其余投影：1) 根据点K的H面投影k的位置，可以判断点K位于SBC棱面上。2) SBC棱面是倾斜面，三面投影都没有积聚性，因此必须通过作辅助线求点K的其余投影。方法一：由锥顶S过点K作辅助线SI，点K在辅助线SI上，则点K的投影必在SI的同面投影上。连接s、k延长交bc于1，由s1作出s1，在s1上定出k，再由k、k求出k（图3-48c）。方法二：过点K作BC的平行线GF为辅助线，点K在辅助线GF上，则点K的投影必在GF的同面投影上。过k作bc平行线交sc于f，交sb于g，由f求出f（f在sc上），过f作fgbc，由k求出k（k在fg上），再由k、k求出k（图3-48d）。3) 判点K投影的可见性，SBC棱面的V面投影可见，k可见；SBC棱面的W面投影不可见，k不可见。例3-18已知如图3-49a，完成三棱锥表面折线I II III IV的其余投影。图3-49三棱锥表面取线作图分析：分析图3-49a可知，折线I II III IV位于三棱锥的三个棱面上，是一个三折线。III段位于SAB棱面上、II III段位于SBC棱面上、III IV 段位于SCA棱面上。要完成该折线的其余投影，关键是求点I、II、III、IV的其余投影。作图：1)点 I、II、III分别位于SA、SB、SC三棱线上，因此由1、2、3求出1、2、3，再由1、2、3和1、2、3求1、2、3（图3-49b）。2)点 IV位于SCA棱面上，SCA棱面是侧垂面，W面投影具有积聚性，因此由4求出4，再由4和4求4（图3-49c）。3) 将点I、II、III、IV的同面投影相连，即完成所求。注意：由于II III段位于SBC棱面上，该棱面W面投影不可见，因此折线II III的W面投影23应画成细虚线（图3-49c）。三、平面与平面体相交平面与平面体相交（可看作平面体被平面切割），在平面体表面产生的交线称为平面体的截交线，这个平面称为截平面，由截交线围成的平面图形称为截断面（图3-50）。图3-50 平面体截交线1.平面体截交线的性质分析图350可知，平面体截交线具有如下性质： 共有性：平面体截交线是截平面和平面体表面的共有线，它既在截平面上，又在平面体表面上，为二者所共有。 封闭性：由于平面体的表面及截平面都为平面，平面与平面的交线是直线。因此，平面体的截交线是一封闭的平面折线，故截断面为一平面多边形。这个多边形的各条边是截平面与平面体各棱面的交线，各个顶点是截平面与平面体各棱线的交点（图3-50）。2.平面体截交线投影的求法根据平面体截交线的性质可知，求平面体截交线的投影，实质就是求截平面与平面体棱线交点的投影。或者，是求截平面与平面体棱面交线的投影。下面通过例题来理解平面体截交线投影的求法。例3-19完成图3-51a所示切割三棱锥的H面投影和W面投影。图3-51 完成切割三棱锥的投影分析：三棱锥的上部被一个正垂面P切割。正垂面P与三个棱面都相交，交线是一个封闭的三边形，三边形的顶点D、E、F是截平面P与三条棱线的交点（图3-51a）。作图：1)补画完整三棱锥的H面投影和W面投影（图3-51a）。2) 求交线的投影。交线DEF构成的截断面是正垂面，其V投影与P平面积聚的直线PV重合。 PV与三棱线sa、sb、sc的交点d、e、f是交线的三个顶点D、E、F的V面投影。根据直线上点的投影特征，由d、e、f求出d、e、f及d、e、f。再将各棱面上两交点的同面投影按可见性依次相连即得交线的三面投影（图3-51b）。3) 判断立体存在域， SD、SE、SF被切割掉，擦去它的三面投影，加粗可见轮廓线的投影，完成所求（图3-51c）。例3-20完成图3-52a所示切割四棱柱的H面投影和W面投影。图3-52 完成切割四棱柱的投影分析：四棱柱的上部被一个正垂面Q和一个侧平面P切割。正垂面Q与四个棱面相交，交线是一个五边形ABCDE；侧平面P与右侧两棱面及顶面相交，交线是一个四边形GAEF；两组交线的公共边AE是两个截平面彼此的交线（图3-52a）。作图：1） 补画完整四棱柱的H面、W面投影（图3-52a）。2） 求立体切割后产生交线的投影：求平面P产生交线GAEF的投影：交线GAEF构成的截断面是侧平面。因此，交线的V面投影与PV重合，H面投影与PH重合。由交线的V面投影（gf、ga、fe、ae）和H面投影（gf、ga、fe、ae）求出交线的W面投影gf、ga、fe、ae，W面投影可见（图3-52b）。求平面Q产生交线ABCDE的投影：交线ABCDE构成的截断面是正垂面。因此，交线的V面投影与Qv重合，交线的H面投影与四个棱面H面投影重合。由交线的V面投影（ab、bc、cd、de）和H面投影（ab、bc、cd、de）求出交线的W面投影ab、bc、cd、de，W面投影可见（图3-52c）。交线AE的投影上述已求。3) 判断切割后立体的存在域： 该四棱柱被切割后，左侧棱线及前、后棱线的上部被切掉不存在。因此，擦去V面投影及W面投影中相应部分的投影，加粗其余可见轮廓线的投影完成所求（图3-52d）。注意：由于W面投影中左侧棱线与右侧棱线的投影重合，因此，在左侧棱线的切割部分，右侧棱线的投影应用细虚线画出。例3-21完成图3-53a所示切割四棱台的H面投影和W面投影。图3-53 完成切割四棱台的投影分析： 四棱台的顶部被两个左右对称的侧平面P1、P2和一个水平面Q切割一通槽。水平面Q与四棱台底面平行，因此，它与四个棱面的交线是水平线，分别平行于四棱台底面四边形的四条边。侧平面P1、P2与棱面的交线是侧平线，分别平行于前、后棱线；与顶面的交线是正垂线（图3-53a）。作图：1) 补画完整四棱台的H面、W面投影（图3-53a）2) 求立体切割后产生交线的投影：求平面Q产生交线的投影：平面Q产生的交线是一六边形（其截断面为水平面），该交线的V面投影与QV重合，W面投影与QW重合。将平面Q与前棱线的交点记为A，由a、a求出a，过a作四棱台底面四边形四条边的平行线，由此可完成该交线的H面投影（图3-53b）。求平面P1、P2产生交线的投影：平面P1产生的交线是一四边形（其截断面为侧平面），该交线的V投影与P1V重合，H面投影与P1H重合。由上述平面Q产生交线的端点B、E的W面投影b、e作前、后棱线的平行线，可完成该交线的W面投影（图3-53c）。同理可求平面P2产生交线的投影。注意：由于平面P1、P2对称，因此，产生的交线W面投影完全重合（图3-53d）。3) 判断立体切割后的存在域： 擦去切割后不存在的棱线、棱面投影，加粗可见轮廓线的投影，完成所求（图3-53d），注意：水平面Q的侧面投影be段不可见，应画成细虚线。