习题课（二） 随机变量及其分布一、选择题1已知事件A发生时，事件B一定发生，P(A)P(B)，则P(A|B)等于()A.B.C. D.解析：选C因为P(AB)P(A)P(B)，所以P(A|B).2甲击中目标的概率是，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的均值为()A0.5分B0.5分C1分 D5分解析：选BE(X)10(11)0.5.3已知离散型随机变量的概率分布列如下：135P0.5m0.2则数学期望E()等于()A1 B0.6C23m D2.4解析：选D由题意得m10.50.20.3，所以E()10.530.350.22.4.4已知随机变量XB，则D(2X1)等于()A6 B4C3 D9解析：选A因为D(2X1)D(X)224D(X)，D(X)6，所以D(2X1)46.51号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A. B.C. D.解析：选C设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)，P(B|A)，所以P(AB)P(B|A)P(A)，所以两次都取到红球的概率为.6一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数Aa1a2a3a4a5(例如：若a1a3a51，a2a40，则A10 101)，其中二进制数A的各位数中，已知a11，ak(k2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记Xa1a2a3a4a5，现在仪器启动一次，则E(X)()A. B.C. D.解析：选B法一：X的所有可能取值为1,2,3,4,5，P(X1)C40，P(X2)C31，P(X3)C22，P(X4)C13，P(X5)C04，所以E(X)12345.法二：由题意，X的所有可能取值为1,2,3,4,5，设YX1，则Y的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此YB，所以E(Y)4，从而E(X)E(Y1)E(Y)11.二、填空题7从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)_.解析：P(A)，P(AB)，由条件概率公式，得P(B|A).答案：8邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X30)等于_解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知P(X30)1，故P(X30)10.30.40.3.答案：0.39某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为_解析：种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为，则B(1 000,0.1)，E()1 0000.1100，故需补种的种子数X的期望为2E()200.答案： 200三、解答题10某一射手射击所得环数X的分布列如下：X45678910P0.020.040.060.09m0.290.22(1)求m的值；(2)求此射手“射击一次命中的环数7”的概率解：(1)由分布列的性质得m1(0.020.040.060.090.290.22)0.28.(2)P(射击一次命中的环数7)0.090.280.290.220.88.11随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是50,60)，2；60, 70)，7；70,80)，10；80,90)，x；90,100，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题(1)求样本容量及x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为，求的数学期望解：(1)由题意，得分数在50,60)内的频数为2，频率为0.008100.08，所以样本容量n25，x25(27102)4.(2)成绩不低于80分的人数为426，成绩不低于90分的人数为2，所以的所有可能取值为0,1,2，因为P(0)，P(1)，P(2)，所以的分布列为012P所以的数学期望E()012.12经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动已知某网民购买A，B，C商品的概率分别为，p1，p2(p1p2)，至少购买一种的概率为，最多购买两种的概率为.假设该网民是否购买这三种商品相互独立(1)求该网民分别购买B，C两种商品的概率；(2)用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X的分布列和数学期望解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为，所以一种都不买的概率为1，即(1p1)(1p2).又因为最多购买两种商品的概率为，所以三种都买的概率为1，即p1p2.联立，解得或因为p1p2，所以某网民购买B，C两种商品的概率分别为p1，p2.(2)用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X的所有可能取值为0,5,10,15.则P(X0)，P(X5)，P(X10)，P(X15).所以X的分布列为X051015P则E(X)051015.4