第十七章 原子的量子理论基 本 要 求一、 掌握氢原子的光谱规律，理解各谱线系的特点。二、 了解卢瑟福的有核原子模型。三、 理解玻尔氢原子理论的三条基本假设的内容，及其由它得出的一些重要结论，如能量量子化、轨道量子化等。四、 理解实物粒子的波粒二象性；掌握物质波（德布罗意波）波长的计算。五、 理解自由粒子的波函数及其统计解释。六、 了解测不准关系的物理意义。七、 掌握用定态薛定锷方程求解一维无限深势阱的简单问题。内 容 提 要一、氢原子光谱线系的经验公式巴尔末系谱线波长 其中波数 单位长度内所含波的数目。其中。上式即为氢原子光谱巴尔末系的里德伯公式。二、里兹并合原理谱线的波数由两个谱项的差值决定；如果前项的整数参变量保持定值，则可以给出同一谱系中各谱线的波数；如果改变前项参变量的数值，可给出不同的谱系。对氢原子光谱：，对碱金属光谱：，修正系数对不同元素有不同的值。三、卢瑟福原子有核模型1. 原子的中心是原子核，几乎占有原子的全部质量，集中了原子中全部的正电荷。 2. 电子绕原子核旋转。3. 原子核的体积比原子的体积小得多。原子半径的数量级为10-10m，核半径的数量级为10-15m。四、玻尔的氢原子理论1.玻尔的量子化假设假设1 电子在原子中，可以在一些特定的圆轨道上运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态（简称定态），并具有一定的能量。假设2 电子以速度v在半径为r的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量L等于h/2的整数倍的那些轨道才是稳定的，即 n为主量子数，上式叫量子化条件。假设3 当原子从定态 Ei 跃迁到定态 Ef 要发射或吸收频率为的光子，当Ei Ef 原子发射光子，Ei 1 的态为激发态 （）氢原子的电离 当时，原子被电离（自由态），电子不受原子核束缚。.五、实物粒子的波动性实物粒子具有波动性，实物粒子的能量e 和动量p与它的波的频率和波长l 的关系（和光子相同）为德布洛意波 与实物粒子相联系的波称为德布洛意波或物质波。德布洛意公式 考虑相对论效应时 不考虑相对论效应时 六、测不准关系海森伯于1927年根据对一些理想实验的分析和德布洛意关系得出测不准关系：粒子的坐标和动量不能同时“测准”。其中Dx为坐标取值的不确定范围，Dpx为动量取值的不确定范围。当粒子被局限在x方向的一个有限范围Dx内时，它所相应的动量分量px必然有一个不确定的范围Dpx，两者的乘积满足不确定关系。能量和时间也是一对不能同时取确定值的物理量其中DE为能量取值的不确定范围，Dt为时间取值的不确定范围。七、波函数和概率波量子力学中描述自由粒子的平面波波函数 概率波的波函数是描述粒子在空间的几率分布的“概率振幅”。波函数的模方代表时刻t，在空间点处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。而时刻t在空间点附近dV体积内发现粒子的概率为波函数满足的条件：1. 标准条件：单值、有限和连续；2. 归一化条件：粒子在空间各点出现的几率总和为l。八、薛定谔方程薛定谔方程描述质量为m的非相对论实物粒子在势场中的状态随时间的变化，反映了微观粒子的运动规律。势场中一维运动粒子的薛定谔方程为三维情况：用哈密顿量表示薛定谔方程式中哈密顿量为 定态薛定谔方程 定态波函数 九、一维无限深势阱中的粒子能量本征值 能量取分立值（能级），即能量是量子化的。n=1时，最低能量，即波动性的表现。当时，即能量连续。本征函数 是以 和 为节点的一系列驻波。解题方法与例题分析一、玻尔氢原子理论的应用例1 一个电子离开一个质子相当远，如果该电子以2eV的动能向着质子运动，并被质子所束缚，形成一个基态氢原子，求发出光的波长是多少？解 电子原来是自由的，具有动能2eV，被质子束缚后形成基态氢原子，电子能量变为-13.6eV，其能量的减少为：。因此，所发出的光子波长二、德布罗意波长例2 若氢原子的运动速率等于它在300K时的方均根速率，试求其波长。另有一个质量m=1.00 g，速率v=1.00 cms-1 的小球，其波长又为多少？（氢原子质量 mH=1.6710-27 kg） 解 氢原子的速率 氢原子的波长 对于小球 例3 一带有单位电荷的粒子经206V的电势加速后，德布罗意波长为，求这个粒子的质量。解 由，得：例4 写出实物粒子德布罗波长与粒子动能 Ek、静止质量m0的关系，并证明：时，时，证明 由，有又由 得 由上式可见，时， 时，例5 在氢原子中的电子，由量子数n=4的激发态跃迁到n=1的基态（）所发出的光子打在金属铯的靶上，铯靶发出了光电子。求：（1）光电子的能量；（2）光电子对应的德布罗意波长。（已知铯的截止频率，光电子的质量）解 （1） 由爱因斯坦公式： 得， （2）由，得 所以 三、薛定谔方程的解及其应用例6 已知质量为 m 的一维粒子的波函数为：能级为（1）写出基态和第4激发态的能量；（2）写出粒子的几率密度分布函数；（3）求粒子在基态和第2激发态时的最可几位置。解 （1）基态能量 第4激发态的能量 （2）粒子的几率密度分布函数为（3）基态， 令 即 得最可几位置 第二激发态， 令 得最可几位置 四、测不准关系例7 试证：若一个作一维运动的粒子的位置不确定量等于它的德布罗意波长l，则同时测定它的速度时，其不确定量最小值等于该粒子的速度。证明 因为 则 由 得 所以 习 题一、选择题1、当电子的德布罗意波长与光子的波长相同时，则它们的 。A.动量相等； B.能量相等；C.动量和能量都不相等；D.动量和能量都相等。2、若粒子（电量为2e）在磁感应强度为B的均匀磁场中沿半径为R的圆形轨道运动，则粒子的德布罗意波长是 。A.； B.； C.； D.。二、填空题1、原子从较高能级En跃迁到某一较低能级Ek时，发出的单色光的波长为 。2、原子的部分能级跃迁如图171所示。试问：哪两个能级间跃迁时所发射的光波长最短： ；哪两个能级间跃迁时所发射的光波频率最小： 。 n=4 n=3 n=2 n=1 图1713、氢原子光谱赖曼系是氢原子内核外电子自较高能态向K= 的能态跃迁时产生的，根据赖曼系的最短波长912可知，赖曼系的最长波长为 。4、能量为100eV的电子的德布罗意波长为 。（已知me=9.1110-31kg，e=1.610-19C，h=6.6310-34Js）5、若光子的波长和电子的德布罗意波长均为，则光子的动量和电子的动量之比是 ，光子的动能和电子的动能之比是 。（电子的静止质量用me表示）6、若光子的波长为，则光子的能量为 ，动量为 ，质量为 。(x)0 a/4 a/2 3a/4 a x 图1727、已知电子位置不确定量为0.05nm，则该电子的动量不确定量为 。8、一维势阱中运动的粒子，在0a范围内的一波函数曲线如图172所示，则发现粒子几率最大的位置是 。 9、量子力学中波函数(x,y,z,t)应满足的标准条件是 。三、计算题1、动能为2eV的电子，从无穷远处向着静止的质子运动，最后被质子所束缚，形成基态的氢原子。求电子绕质子运动的动能为多少？2、已知氢光谱的某一线系中有一波长为6567的谱线，求：（1）该谱线所对应的能级的能量；（2）该谱线相应的始、末状态的电子的轨道半径。3、求下列电子的德布罗意波长：（1）500108eV加速器中射出的电子；（2）速度为0.5c的电子；（3）总能量恰好等于其两倍静止能量的电子。4、有一粒子沿x方向运动，其波函数。（1）将此波函数归一化；（2）求出粒子按坐标的几率分布函数；（3）在何处找到粒子的几率最大？5、一维无限深势阱（宽度为）中粒子的波函数为求粒子几率最大的位置。文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意! /