物理极值之求法介休一中 曹正奇利用三角函数求极值一、 型 将变形为，当时，有极值。L例1 某地区降雨量较大，在设计屋顶时，为使雨水尽快地流下，屋顶的倾斜角应该是多大？分析与解 设屋顶的倾角为，横梁的宽度为L，如图所示。则雨滴的位移大小为 根据牛顿第二定律可知雨滴下滑的加速度为 雨滴在屋顶上做初速度为零的匀加速直线运动 由以上三式可得下滑时间为 可见当时，时间最短为例2 如图所示，为防止电线杆被电线拉倒，可用一拉线拉住电线杆，问拉线如何设置可使拉线所受拉力最小？分析与解 设电线拉力大小为F1，离地高度为L，拉线长度为l，拉力大小为F2，拉线与水平面夹角为，由力矩平衡条件有 lF2LF1整理可得拉线拉力大小为 可见当时，拉力最小为例3 一个四分之一圆弧形物体置于粗糙的水平面上，质量为的小球从静止开始由顶端无摩擦滑下，物体始终处于静止状态。试分析：当小球运动到什么位置时，地面对物体的静摩擦力最大？最大静摩擦力为多少？oFmg分析与解 设圆弧半径为，当小球运动到圆心小球连线与竖直方向夹角为时，速度为,由机械能守恒定律有 由牛顿第二定律沿半径方向有 对物体，由平衡条件在水平方向有 由以上各式可得地面对物体的静摩擦力为 可见当时，静摩擦力最大为。例4 重力是由于地球吸引而使物体受到的力，吸引力的方向指向地心，重力的方向竖直向下，试分析竖直向下的方向与指向地心方向的最大夹角。分析与解 设地球为一质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R，自转的角速度为，一个物体质量为m，处于纬度为的地球表面。如图所示。根据万有引力定律可知，物体受到的万有引力为方向指向地心由牛顿第二定律知物体随着地球的自转做匀速圆周运动的向心力为 （1）这个向心力是万有引力的一个分力，方向指向圆周轨道的圆心。fmWFOR物体所受的重力为 （2）方向竖直向下。由图可知有 （3）由（1）、（2）、（3）有 由上式可知，在南（北）纬处，竖直向下的方向与指向地心的方向有最大的夹角，大小为。将、代入并解可得 二、型因为，可见，当时，y的极大值为。例5 物体放置在水平地面上，物体与地面之间的动摩擦因数为，物体重为，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力为多大？NFfG图1分析与解 物体受力如图1所示,设拉力F与水平方向的夹角为，根据题意可列平衡方程式，即 （1）（2） 由滑动摩擦定律有 （3）联解（1）（2）（3）可得： ,其中, 可见当时，拉力的最小值为 例6 船从港口出发，拦截正以速度沿直线航行的船，与船所在航线的垂直距离为，船起航时，船与点的距离为，且，如图1所示。 如果略去船起动时的加速过程，认为它一起航就作匀速运动，求船能拦到船所需的最小速率。BMNPAbav0图2HBMNPAbav0图1分析与解 设两船相遇于点（见图2）， 与间的夹角为 ，则船的位移船的位移因时间相等，故有整理化简以上各式后有其中 可见当即当船速度方向与垂直时有最小值例7 一条长度为L的细线，上端固定在O点，下端系着一个质量为m、带电量为+q的小球，将它们置于一个足够大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，把细线拉直并处于竖直位置，然后将小球由静止释放，如图1所示，试求：当细线与竖直方向夹角为多大时小球的动能最大，最大动能为多大。图1LO+q,mE分析与解 小球被释放后，在重力、电场力和绳子拉力作用下，在竖直面里沿着圆弧来回摆动，其运动的性质是变加速曲线运动，在此过程中，重力势能、电势能、动能发生着周期性的相互转化。如图2所示，设当细线与竖直方向所成角度为时，小球的速度为。根据能量转化和守恒定律可得 其中 可见当时 小球的动能最大为qEmgLO+q,mE图2三、型或型将变形为因为根据基本不等式，定和求积知：当且仅当，即时y有最大值例8 一个面积为的风筝，迎着水平方向速度为的风，浮在空中，为使风筝获得最大的升力，风筝与水平方向的夹角应为多大？分析与解 设空气密度为，则在时间内与风筝发生作用的空气质量为设空气分子与风筝的碰撞是弹性的，则由动量定理，反射定律可得vvF 由牛顿第三定律可知空气对风筝作用力为 风筝获得的升力为 由以上各式可得可见当时，升力的最大值为 例9 相距为的两个相同的点电荷，带电量均为，试求两点电荷中垂直线上何处场强最大，最大为多大？解析 如图所示，在两点电荷中垂线OP上取一点P，设P点和电荷连线与两电荷连线的夹角为，由几何关系可知P点到两电荷的距离均为由点电荷场强公式可知每个点电荷在P点的场强为OE1E+Q+QLLE2 由平行四边形定则可知P点场强为P 联解以上三式可得 可见当时，场强的最大值为 例10 一条轻质绳子长度为，一端固定在O点，另一端拴一个质量为的小球，拉起小球使轻绳处于水平，然后无初速释放小球，如图1所示，小球在运动到最低点的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？ mLOBmgvCTLOA图1图2解析 当小球到达绳子与竖直方向成角的位置时，重力的功率为小球从位置到位置的过程，机械能守恒由以上二式可得可见当时，重力功率有最大值 四、其它例11 如图所示，倾角为的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角。解析 由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为 质点沿OP由静止开始做匀加速直线运动，设下滑时间为t，则 由图可知，在OPC中有OPC 由以上三式可得 显然，当时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。利用二次函数求极值一、 利用二次函数极值公式求极值对于典型的一元二次函数,若,则当时,y有极小值，为；若,则当时,y有极大值，为；例12 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解：绿灯亮时开始计时，经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为，汽车做匀加速运动，其位移为两车相距为 由以上各式可得这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故S有最大值。当 有最大值时 例13 在电场强度为E的水平匀强电场中，以初速度竖直向上发射一个质量为m，电量为q的小球，求小球从运动开始需多少时间速度达到最小值，并求出最小值。解析：设物体的运动时间为t时，竖直向上的速度为，水平匀加速运动的速度为，则有 小球的合速度为 由以上三式得因为，所以当时，小球的最小速度为例14 如图所示，甲、乙两车在正交的马路上均以速率运动，某时刻它们到交叉口的距离分别是和米，问它们之间的距离何时最远，最远为多少？O乙甲vvxy解析 建立图示坐标系，在时刻，甲、乙两车的坐标分别是，此时二者相距 因为所以当时两车相距最远为例15 质量分别为、的小球，在光滑水平面上的同一直线上以速度、运动，并发生相互作用。试证明：当两个小球粘到一块时，作用过程中损失的机械能最多。 证明 设两小球作用后的速度分别为、，根据动量守恒定律有 （1） 作用过程中损失的机械能为 （2） 由（1）式得 （3） 将（3）代入（2）式并整理 由上式可以发现是的二次函数。因为二次项系数小于零，所以当 （4）时，有最大值，再将（4）式代入（1）式可得 （5） 由（4）、（5）二式可以看出，即当二小球粘到一块时，作用过程损失的机械能最多。二、利用一元二次方程判别式求极值对于二次函数，可变形为一元二次方程若使有解则得：若使无解则得： 对于例12，我们可以转化为二次方程求解。将 可转化为一元二次方程：要使方程有解，必使判别式解不等式得：，即最大值为6m。将代入并解可得两车相距最远的时间为例16 一个质量为的电子与一个静止的质量为的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量被贮存在这个原子内部。求电子必须具有的最小初动能是多少？解析 设电子碰前的速度为，碰后的速度为，静止的原子被碰后的速度为。由动量守恒定律有 (1)由能量转化和守恒定律有 (2)由（1）有代入（2）并整理可得 上式是关于的一元二次方程，因电子碰后的速度必为实数，所以此方程的判别式根据上式整理可得 所以电子必须具有的最小的初动能是 例17 如图1所示，顶角为的光滑圆锥面，置于磁感应强度大小为，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为，带电量为的小球，沿圆锥面在水平面内作匀速圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径。解析 小球在运动时将受重力，圆锥面对球的弹力，及洛仑兹力的作用，如图2所示。设小球做匀速圆周运动的轨道半径为，速率为。图1m,qB2mgfN图2 由牛顿第二定律可得 （1） （2）联立（1）、（2）可得 上式有、两个未知量，似乎不可解，但因为是求极值问题，可用一元二次方程判别式求解。因为有实数解，由有即 由上式可知，小球做圆周运动的最小半径为例18 在掷铅球的运动中，如果铅球出手时距地面的高度为，速度为，求与水平方向成何角度时，水平射程最远？最大射程有多大？解析 以出手点为坐标原点，可分别列出水平方向与竖直方向的位移方程。 （1） （2）由以上二式可得上式为关于的一元二次方程。若存在实数解，则判别式 即化简整理得