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自然数的正整数次幂的个位数的规律【摘要】自然数的正整数次幂的个位数的计算错综复杂,但是在这看似变化无常中却自隐藏着令人回味无穷的规律例如求102389的个位数,常规方法:先求出结果,再确定个位数这种方法在没有现代高级计算机的情况下,似乎是“山重水复疑无路”,但如果掌握了然数的正整数次幂的个位数规律,即可“柳暗花明又一村” 【关键词】自然数 正整数次 幂 个位数 计算 规律一、0-9的正整数次幂的个位数规律经研究发现(可用数学归纳法证明),an(0a10,aN,nN*)的个位数,具有以下规律:(1)0,1,5,6的正整数次幂的个位数是它本身 例如:542的个位数是5,6n(nN*)的个位数是6. (2)4,9的奇数次幂的个位数是它本身,偶数次幂的个位数分别是6,1. 例如:459的个位数是4,460的个位数是6;969的个位是9,970的个位数是1(3)2,3,7,8的正整数次幂的个位数是循环重复出现的 例如:24n-3,24n-2,24n-1,24n(nN*)的个位数分别是2,4,8,6; 34n-3,34n-2,34n-1,34n(nN*)的个位数分别是3,9,7,1; 74n-3,74n-2,74n-1,74n(nN*)的个位数分别是7,9,3,1; 84n-3,84n-2,84n-1,84n(nN*)的个位数分别是8,4,2,6;因此,对某个数a而言,特定倍数幂的结果总是相同的尾数:如3的4n(nN*)次幂总是以1结尾,也很容易计算出4n+1次方的尾数为1*3, 4n+2次方的尾数 1*3*39, 4n+3 次方的尾数为 1*3*3*3=27,即为7,这样就可以计算出3的任意次方的结果的尾数把上述规律整理,总结成一个数组如下: 0, 0, 0, 0; 1, 1, 1, 1; 2, 4, 8, 6; 3, 9, 7, 1; 4, 6, 4, 6; 5, 5, 5, 5; 6, 6, 6, 6; 7, 9, 3, 1; 8, 4, 2, 6; 9, 1, 9, 1.数组的第一维(行)的四个数字,依次为指数n变化时幂的个位数;数据的第二维(列)对应底数a,a从0到9.通过数组,发现:1 an(0a10,aN,nN*)的个位数,与a有关:a不同,则幂的个位数可能相同,也可能不同;当a为奇数时,则幂的个位数为奇数,当a为偶数时,则幂的个位数为偶数;反过来,当幂的个位数为0时,a只能为0,而幂的个位数为5时,a只能为5. 2数组的第一列正好对应a从0到9的竖直变化;第二列、第四列去掉首行0以后,呈上下对称;第四列如果a与10互素,则幂的个位数为1;第一列、第二列、第三列的数字之和均为45.3相同的a,如果它的指数是4n(nN*),无论n是多少,其个位数数都是相同的,这个问题可以转化为:假设m, n均为自然数,MOD为取余数计算符( MOD 10即取个位数) (m4n) MOD 10 = (m(4*(n+1) MOD 10. - (1) (m(4n+1) MOD 10 = m MOD 10. - (2) 二、10以上的自然数的正整数次幂的个位数规律对于求an(a10,aN,nN*)的个位数,可以由二项式定理可以推出令r=a MOD 10,r为a的个位数,则a-r的个位数为0an=(a-r)+rn=(a-r)n+(a-r)n-1r1+C(a-r)1rn-1+rn=(a-r)(a-r)n-1+(a-r)n-2r1+Crn-1+rn而(a-r)(a-r)n-1+(a-r)n-2r1+Crn-1的个位数为0 求an(a10,aN,nN*)的个位数,只需求rn=rn的个位数;因此,我们知道:10以上的自然数(也称多位数)的正整数次幂的个位数只与多位数的个位有关,而与多位数的十位、百位、千位无关故只要掌握0-9的正整数次幂的个位数的求法,对于求多位数的正整数次幂的个位数,便可迎刃而解现在来求103289的个位数依上面的结论:求103289的个位数,只需求289的个位数,因为289=2422+1的个位数为2,所以103289的个位数为2三、运算规律 若自然数a, b, c, d满足:a MOD 10 = c MOD 10 ,b MOD 10 = d MOD 10.1加法(+) (a MOD 10 + b MOD 10)MOD10 =(a+b) MOD 10. (a+b) MOD 10 = (c+d) MOD 10.2减法(-) (a-b) MOD 10 = a MOD 10 b MOD10. ( a MOD 10 b MOD 10 )(a-b) MOD 10 = 10+a MOD 10 b MOD 10. ( a MOD 10 b MOD 10 )(a-c) MOD 10 = 0 = (b-d) MOD 10.3乘法(*) (a MOD 10 * b MOD 10)MOD 10 =(a*b) MOD 10.(a*b) MOD 10=(c*d) MOD 10. 4. 乘方() (an) MOD 10 = (bn) MOD 10.10以上的自然数的正整数次幂的个位数规律可用下式表述:(an) MOD 10 = (a MOD 10)n) MOD 10.对于上面各式的证明,只需 令a=10*A+m, c=10*C+m, b=10*B+n,d=10*D+n, 代入上面加、减、乘法式即得,对于乘方式子重复运用乘法部分即得 5除法() 由于除法极易得到小数,所以不考虑其运算规律6特别地若a与10互素(a只能取1或3或7或9),则存在整数k,使得 (a*k) MOD 10 = 1.证明: 因为a与10互素,由Eulid辗转相除法知,存在整数k,n使得 a*k = 1+ 10*n.因此 (a*k) MOD 10 = (1+10*n) MOD 10 = 1 MOD 10 + (10*n) MOD 10 = 1. 四、综合应用 掌握了自然数的正整数次幂的个位数规律,结合数字的四则运算和二项式定理,可以求解近年来常出现的个位数字计算技巧的题型,而且计算速度往往比计算机还要快 【例1】:求下列算式的个位数(1) 7185+43856和718543856 解:7185=7446+1,其个位数是7; 又43856的个位数与的856个位数相同,856=8414其个位数为6; 7185+43856的个位数为7+6的个位数; 718543856是个位数为76的个位数; 7185+43856的个位数字为3; 718543856 的个位数字为2(2)(264-340)345 解:264的个位数为6,340的个位数为1 264-342的个位数为5 5的正整数次幂的个位数为5(264-342)345的个位数为5.(3)(42+4+440)7 64解:42+43+440=(1+4)40- (+4)=540-(1+404)又5的正整数次幂的个位数为5(42+43+440)的个位数为4.又7 64的个位数为1(42+43+440)7 64的个位数为4.【例2】:某个自然数的偶数次幂是千位数字为3个位数字为5的四位数,求这个自然数. 解:设存在此自然数为N,则N2k=35,则(Nk)2=35,说明此四位数A为某自然数B的平方,且这个自然数B为两位数,因为只有个位数为5的自然数的指数幂的个位数为5,所以N的个位数为5,又由于四位数A的千位为3,则自然数B的十位数只能为5,所以B=55,即Nk=55,所以题目要求的自然数N只能为55【例3】:(年全国初中数学联赛题)填空:,,的平方和的个位数的数字是()解:2+22+32+92+102的个位数的和等于1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=45, 而11到20,21到30,31到40,123456781到123456789的平方的个位数的和也都为45.本题所求的个位数字是45*(12345678+1)的个位数字5.【参考文献】 1 全日制普通高级中学教科书数学第五册人民教育出版社, 2 一个自然数幂尾数规律的数学归纳法证明科教文汇,上半月刊 3 普通高中课程标准实验教科书数学1(必修)人民教育出版社版, 4 普通高中课程标准实验教科书数学(必修)人民教育出版社版,1
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