一元二次方程知识盘点1方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式 ( a、b、c、为常数，a )。2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；配方，即方程两边都加上 的平方；化原方程为的形式，如果n是非负数，即，就可以用 法求出方程的解。如果n0，则原方程 。 （3）公式法: 方程，当_ 0时，x = _（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：将方程的右边化为 ；将方程的左边化成两个 的乘积；令每个因式都等于 ，得到两个 方程；解这两个方程，它们的解就是原方程的解。3.一元二次方程的根的判别式 .（1）0一元二次方程有两个 的实数根, 即（2）=0一元二次方程有两个 的实数根，即,（3）0一元二次方程 实数根。4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程的两根为， 则 ， 提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。5. 列一元二次方程解应用题 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。 考点呈现考点一 一元二次方程的基本概念及解法例1、已知关于x的方程x 2bxa0有一个根是a(a0)，则ab的值为A B0 C1 D2【分析】：依据方程根的定义，把已知根代入原方程从而获得一个关a方程，利用因式分解法即可求得a的值【解答】：把x= -a代入原方程得： a0, a-b+1=0 【点评】：本题是一元二次方程根的定义，解法，及整体思想的综合应用。中考题对基础知识的考查都具有一定的综合性，基础扎实才可灵活应用。例2、一元二次方程x（x2）=2x的根是（ ）A1 B2 C1和2 D1和2【分析】：移项后 ，用因式分解法解方程。【解答】： x（x2）+x2=0（x2）(x+1)=0x2=0或 x+1=0x1=2 x2= -1 答案D【点评】：解一元一次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解。一般地，若方程左边是一个非负数或完全平方式，就采用直接开平方法；若能分解因式就用因式分解法；当两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法。考点二 一元二次方程根的判别式例3、关于x的方程的根的情况描述正确的是( ) Ak为任何实数方程都没有实数根 B，k为任何实数方程都有两个不相等的实数根 Ck为任何实数方程都有两个相等的实数根D根据k的取值不同方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【分析】本题需先求出方程的根的判别式的值，通过配方，将结果与0作比较，从而得出答案【解答】关于x的方程中=（2k）2-4（k-1）=4k2-4k+4=（2k-1）2+30k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根【点评】本题主要考查了根的判别式、配方法，在解题时要能对根的判别式进行整理变形是本题的关键例4、已知关于x的一元二次方程（al）x22x+l0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A、a2B、a2 C、a2且alD、a2【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式确定a的取值范围【解答】：44（a1）84a0 a2 又a10 a2且a1 故选C【点评】：只有一元二次方程才具有根的判别式，因此在逆用判别式时，一定要保证二次项系数不等于0。对于根的判别式的考查一般有两个命题角度：判别一元二次方程根的情况；求一元二次方程字母系数的取值范围。考点三 一元二次方程根与系数的关系例5、关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2x1x21且k为整数，求k的值。【分析】(1)一元二次方程有两个实根的条件是0，二次项系数不等于零(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x1x22，x1x2k1.【解答】：(1)方程有实数根，224(k1)0， k0，所以k的取值范围是k0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x1x22，x1x2k1.x1x2x1x22(k1)由已知，得2(k1)1，解得k2.又由(1)得k0，2k0.k为整数，k的值为1和0.【点评】：此题是对根与系数的关系、根的判别式、一元一次不等式等基础知识的综合考查，一元二次方程根与系数的关系常用于求有关两根的代数式的值和求方程中未知系数的值，体现了整体、转化等数学思想，用根与系数的关系求字母的值时，不要忽视0的前提条件。考点四 列一元二次方程解应用题例6为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房【分析】：（1）设每年市政府投资的增长率为x根据到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资单位面积所需钱数可得结果【解答】：解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，整理，得：x2+3x1.75=0，解之，得： x1=0.5，x2=3.5（舍去）答：每年市政府投资的增长率为50%（2）到2012年底共建廉租房面积= （万平方米）【点评】：增（降）率问题应用题是列一元二次方程解应用题中的最基本题型，此类问题关键是掌握增（降）率问题中的一般形式为a（1+x）n=b，其中n为增(降)次数，x是增（降）率a为基础量，b为增降后的目标量。列一元二次方程解决实际问题时，要认真审题，依据题中信息，找出等量关系。特别需要注意的是求出方程两根后，一定要检验是否符合题意。误区点拨一、忽视等式的基本性质，造成失根例1、解方程：.错解：两边同除以，得剖析：方程两边同除以一个式子时忽略了式子可能为0.正解：移项，得，所以， 所以.二、忽视二次项系数a0，导致字母系数取值范围扩大例2、如果关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值错解：将x0代入方程中，得，.剖析：由一元二次方程的定义知：，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正解: 将代入方程中，得.又因为，所以.三、忽视一元二次方程有实根的条件0，导致错解例3、是方程的两实根，求的最大值.错解：由根与系数的关系得：， 所以当时，有最大值19.剖析：当时，原方程变为，此时0，方程无实根！错因是忽略了0这一重要前提，由于方程有两实根，故0，正解：由根与系数的关系得：，又因为方程有实数根，0，所以解得.所以当时，有最大值18.四、忽略挖掘题目中的隐含条件导致错解例4、若,则=_.错解： 解得=4或=2剖析：忽视了的非负性，所以应舍去=-2 正解：=4.五、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小例5、.已知关于x的方程，当k为何值时，方程有实数根？错解：因为方程有实数根，所以0 即，解得， 又因为， 所以且.剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有两个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论:（1）当k0时，原方程变为一元一次方程-2x=1，其实根为x=-1/2，故k可取0.（2）当k0时，原方程为一元二次方程，须满足0，即且，综合（1）、（2）知：.六、忽略实际问题中对方程的根的检验，造成错解例6.有一块长80cm，宽60cm的薄铁片，在四个角截去四个相同的小正方形，然后做成一个底面积为1500cm的没有盖子的长方体盒子，求截去的小正方形的边长。错解：设截去的小正方形的边长为xcm，由题意，得 整理，得解得 所以截去的小正方形的边长为55cm或15cm.剖析：忽略了所截小正方形的边长和长方形盒子的长、宽都应为正数的实际限制条件，即解得.正解：设截去的小正方形的边长为.由题意，得.整理，得解得.当时，不符合题意，应舍去；当时，符合题意，所以；所以截去的小正方形的边长为.通过以上几例错解剖析，提醒同学们在掌握一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性，学会数学反思，同时要注重分类讨论、整体、转化、等数学思想在解题中的合理运用。1