专题11 圆锥曲线的几何性质与应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样化”，即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向量相结合问题等.在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e的等式或不等式使问题获解1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系(只需找出其中两个参数的关系即可)，方法通常有两个方向：(1)利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距.从而可求解(2)利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：(1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口(2)若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可(3)通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法.【压轴典例】例1.(2020全国卷理科T11)设双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则a=()A.1 B.2 C.4 D.8【解析】选A.设PF1=m,PF2=n,mn,=mn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,e=,所以a=1.例2.(2020北京高考T7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQl于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP【解析】选B.因为点P在抛物线上,所以|PQ|=|PF|,所以FQ的垂直平分线经过点P.例3.(2020全国卷高考理科T4)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2 B.3 C.6 D.9【解析】选C.设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|AF|=xA+=12,即12=9+,解得p=6.例4.(2020全国卷高考文科T11)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则PF1F2的面积为()A. B.3 C. D.2【解析】选B.由已知,不妨设F1(-2,0),F2(2,0),则a=1,c=2,因为|OP|=2=|F1F2|,所以点P在以F1F2为直径的圆上,即F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16,又|PF1|-|PF2|=2a=2,所以4=|PF1|-|PF2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=16-2|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|=6,所以=|PF1|PF2|=3.例5.(2020全国卷文科T7理科T5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为()A. B. C.(1,0) D.(2,0)【解析】选B. 因为直线x=2与抛物线y2=2px(p0)交于D,E两点,且ODOE,根据抛物线的对称性可以确定DOx=EOx=,所以D,代入抛物线方程4=4p,求得p=1,所以其焦点坐标为.例6.(2020天津高考T7)设双曲线C的方程为-=1(a0,b0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.-=1 B.x2-=1 C.-y2=1 D.x2-y2=1【解析】选D.由题可知,抛物线的焦点为(1,0),所以直线l的方程为x+=1,即直线的斜率为-b,又双曲线的渐近线的方程为y=x,所以-b=- ,-b=-1,因为a0,b0,解得a=1,b=1.所以双曲线C的方程为x2-y2=1.例7.(2019全国高考真题)设F为双曲线C：(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为( )ABC2D【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即例8.(2020全国卷高考理科T15)已知F为双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.【解析】依题可得,=3,而=,=c-a,即=3,变形得c2-a2=3ac-3a2,化简可得,e2-3e+2=0,解得e=2或e=1(舍去).例9.(2020全国卷文科T14)设双曲线C:-=1 (a0,b0)的一条渐近线为y=x,则C的离心率为.【解析】由双曲线方程-=1可得其焦点在x轴上,因为其一条渐近线为y=x,所以=,e=.例10.(2019全国高考真题(理)已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_【答案】2.【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为例11. (2019浙江高考真题)已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_.【答案】【解析】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程，可解得(舍)，点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用由题意可知，由中位线定理可得，即，求得，所以.例12.(2019全国高考真题(理)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_.【答案】【解析】由已知可得，设点的坐标为，则，又，解得，解得(舍去)，的坐标为【压轴训练】1(2021浙江高三学业考试)如图，椭圆的右焦点为分别为椭圆的上下顶点，是椭圆上一点，记椭圆的离心率为，则( )ABCD【答案】B【详解】，则，所以直线，与椭圆方程联立，所以点的横坐标是，即，整理为：，两边同时除以得：，所以，得，或(舍).2(2020山西大同市大同一中高三)已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是( )ABCD【答案】C【详解】由题意如图，过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限)，可知，垂足为，直线交轴于点，准线与轴的交点为，所以，则三角形是正三角形，因为是的中点，所以是的中点，所以，所以，则，由三角形是正三角形可知在上的射影是是中点，所以，则，可得，所以抛物线方程为：3(2020天津高考模拟(理)已知分别双曲线的左右焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若 ，则抛物线的准线方程为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】由题得双曲线的方程为，所以.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得.联立双曲线的方程和抛物线的方程得.由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.4(2020蕉岭县蕉岭中学高三)(多选)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为9，则( )A|BF|3BABF是等边三角形C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26x【答案】BCD【详解】根据题意，作图如下：因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以，又，所以为等边三角形，B正确；ABD90，过F作FCAB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，所以A不正确，焦点到准线的距离为，所以C正确；抛物线的方程为：y26x，所以D正确.5(2021上海高三专题练习)已知为抛物线的焦点，、是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“、三点共线”等价的是( )ABCD【答案】B【详解】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，.抛物线的焦点的坐标为，若、三点共线，则.对于A选项，解得；对于B选项，解得；对于C选项，整理得，即，解得；对于D选项，整理得，解得或.6(2020安徽马鞍山市马鞍山二中)(多选)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，为线段的中点，则( )A以线段为直径的圆与直线轴相离 B以线段为直径的圆与轴相切C当时， D的最小值为【答案】CD【详解】对于A选项，的焦点，准线方程为，设、在准线上的射影为、，由， ，可知以线段为直径的圆与准线相切，与直线轴相交，故A错；对于B选项，设直线的方程为，设点、，联立，得，由韦达定理得，则，则，所以，以为直径的圆的半径为，设，则，则线段的中点到轴的距离为，则.当时，；当时，.所以，以线段为直径的圆不一定与轴相切，故B错；对于C选项，则，则，所以，故C正确；对于D选项，由B选项知，当且仅当时，取最小值.故D正确.7. (2020河北衡水高三)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C. D.【答案】A【解析】法一：数形结合法如图，设直线BM与y轴的交点为N，且点N的坐标为(0，m)，根据题意，点N是OE的中点，则E(0,2m)，从而直线AE的方程为1，因此点M的坐标为c，.又OBNFBM，所以，即，解得，所以椭圆C的离心率为.法二：交点法同法一得直线AE的方程为1，直线BN的方程为1.又因为直线AE与直线BN交于点M，且PFx轴，可设M(c，n)则消去n，解得，所以椭圆C的离心率为.法三：三点共线法同法一得直线AE的方程为1，由题意可知M，N(0，m)，B(a,0)三点共线，则，解得，所以椭圆C的离心率为.法四：方程法设M