第07讲 假设法解题教学目标l 初步学会运用“假设”的策略分析数量关系，并能根据问题的特点确定合理的解题步骤；l 在解决实际问题过程的不断反思中，感受假设的策略对于解决特定问题的价值，进一步发展分析、综合和简单推理能力；l 养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯，积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获取解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。知识梳理 当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从而找到解题方法。这种解题方法就叫做假设法。用假设法解应用题，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新奇巧妙，既简单又便于计算的条件。有些用一般方法能解答的应用题，用假设法解答可能更简捷。典例分析 考点一：假设情节变化例1、学校有篮球和足球共21个，借出篮球个数的1/3和1个足球后，两种球的个数相等。原来有篮球和足球各多少个？【解析】假设篮球没有借出，足球借出一个，那么，可以把现有篮球的个数看作是 3份数，把现有足球的个数看作 2 份数，两种球的总份数是：3+2=5（份）。原来篮球的个数是：；原来足球的个数是：21-12=9（个）。例2、甲乙两个煤场共存煤 92 吨，从甲场运出 28 吨后，乙场的存煤比甲场的 4 倍少 6 吨。两场原来各存煤多少吨？【解析】假设从甲场运出的不是 28 吨，而是比 28 吨少 6 吨的 22 吨，那么，乙场的存煤数就正好是甲场的 4 倍，甲场的存煤是 1 份数，乙场的存煤份数，乙场的存煤是两场存煤总数的4/5。所以乙场原来存煤： 甲场原来存煤：92-50=42（吨）。考点二：假设两个（或几个）数量相等例1、有两块地，平均亩产粮食 185 千克。其中第一块地 5 亩，平均亩产粮食203 千克。 如果第二块地平均亩产粮食 170 千克，第二块地有多少亩？【解析】假设两块地平均亩产粮食都是 170 千克，则第一块地的平均亩产量比两块地的平均亩产多：203-170=33（千克）；5 亩地要多产：335=165（千克）。两块地实际的平均亩产量比假设的平均亩产量多：185-170=15（千克）。因为 165 千克中含有多少个 15 千克，两块地就一共有多少亩，所以两块地的亩数一共是：16515=11（亩）；第二块地的亩数是：11-5=6（亩）。例2、一项工作，甲、乙两队单独做各需要 10 天完成，丙队单独做需要 7.5天完成。在三队合做的过程中，甲队外出 1 天，丙队外出半天。问三队合做完成这项工作实际用了几天？【解析】假设甲没有外出，丙也未外出，也就是说，甲、乙、丙三个队的工作天数一样多，则三队合做的工作量可达到：。三队合做这项工作，实际用的天数是：（天）。例3、一项工程，甲、乙两队合做 80 天完成。如果先由甲队单独做 72 天，再由乙队单独做 90 天，可以完成全部工程。甲、乙两队单独完成全部工程各需要用多少天？【解析】假设甲队做 72 天后，乙队也做 72 天，则剩下的工程是：；乙队还需要做的时间是：90-72=18（天）；乙队单独完成全部工程的时间是：（天）；甲队单独完成全部工程的时间是：（天）。考点三：假设两个分率（或两个倍数）相同例1、某商店上月购进的蓝墨水瓶数是黑墨水瓶数的 3 倍，每天平均卖出黑墨水 45 瓶，蓝墨水 120 瓶。过了一段时间，黑墨水卖完了，蓝墨水还剩 300 瓶。这个商店上月购进蓝墨水和黑墨水各多少瓶？【解析】根据购进的蓝墨水是黑墨水的 3 倍，假设每天卖出的蓝墨水也是黑墨水的 3倍，则每天卖出蓝墨水：453=135（瓶）。 这样，过些日子当黑墨水卖完时蓝墨水也会卖完。实际上，蓝墨水剩下 300 瓶，这是因为实际比假设每天卖出的瓶数少：135-120=15（瓶）。 卖的天数：30015=20（天）；购进黑墨水：4520=900（瓶）；购进蓝墨水：9003=2700（瓶）。例2、甲、乙两个机床厂今年一月份都超额完成了生产计划，甲厂完成计划的 112，乙厂完成计划的 110。两厂共生产机床 400 台，比原计划超产 40 台。两厂原计划各生产多少台机床？【解析】假设两个厂一月份都完成计划的 110，则两个厂一月份共生产机床：（ 400-40） 110=396（台）甲厂计划生产：（ 400-396） （ 112-110）=42=200（台）。乙厂计划生产：400-40-200=160（台）。考点四：假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少例1、某校三、四年级学生去植树。三年级去 150 人，四年级去的人数比三年级人数的 2 倍少 20 人。两个年级一共去了多少人？【解析】假设四年级去的人数正好是三年级的 2 倍，而不是比三年级的 2 倍少 20 人，则两个年级去的人数正好是三年级人数的 3 倍。 两个年级去的人数是：1503=450（人）。因为实际上，四年级去的人数比三年级 2 倍少 20 人，所以两个年级去的实际人数是：450-20=430（人）。 例2、甲、乙、丙三个乡都拿出同样多的钱买一批化肥。买好后，甲、丙两个乡都比乙乡多 18 吨，因此甲乡和丙乡各给乙乡 1800 元。问每吨化肥的价格是多少元？【解析】假设甲、丙两个乡买的化肥不比乙乡多 18 吨，而是与乙乡买的同样多，则应把多出来的 2 个 18 吨平均分。平均分时每个乡多得：1823=12（吨）。 因为甲、丙两个乡都比乙乡多得 18 吨，而平均分时每个乡得 12 吨，所以乙乡实际比甲、丙两个乡都少：18-12=6（吨）；每吨化肥的价格：18006=300（元）。考点五：假设某个数量增加了或减少了 例1、某班男生比全班人数的5/9少4人，女生比全班人数的2/5多6人。这个班的男女生各是多少人？【解析】假设男生增加4人，女生减少4人，则全班总人数不变，男生正好是全班人数的5/9，女生比全班人数的2/5度：6-4=2（人）。全班人数是;(6-4) (1-5/9-2/5)=45（人），男生人数是：455/9-4=21(人)；女生人数是：452/5+6=24（人）。例2、学校运来红砖和青砖共 9750 块。红砖用去 20，青砖用去 1650 块后，剩下的红砖和青砖的块数正好相等。学校运来红砖、青砖各多少块？【解析】假设少运来 1650 块青砖， 则一共运来砖：9750-1650=8100（块）。以运来的红砖的块数为标准量 1，则剩下的红砖的分率是：1-20=80。 因为剩下的红砖的块数与青砖的块数正好相等，所以青砖的分率也是 80。 因为 8100 块中包括全部红砖和红砖的（ 1-20）（青砖），所以 8100 块的对应分率是（ 1+1-20）。 运来的红砖是：（ 9750-1650） （ 1+1-20）=81001.8=4500（块）。 运来的青砖是：9750-4500=5250（块）。 所以运来红砖 4500 块，运来青砖 5250 块。考点六：假设某个数量扩大了或缩小了例1、把鸡和兔放在一起共有 48 个头、 114 只爪和脚。鸡和兔各有多少只？【解析】假设把鸡爪和兔子脚的只数都缩小 2 倍，则鸡爪数和鸡的头数一样多，兔的脚数是兔头数的 2 倍。这样就可以认为， 1142 所得商中含有全部鸡的头数，也含有兔子头数 2 倍的数，而 48 中包含全部鸡的头数和兔子头数 1 倍的数。 所以兔的只数是：1142-48=9（只）；鸡的只数是：48-9=39（只）。例2、两堆煤共2268千克，取出甲堆的2/5和乙堆的 1/4共708千克，求甲、乙两堆煤原来各是多少千克？【解析】假设把从甲、乙两堆煤里取出的煤的数量扩大 4 倍，则从两堆煤取出的总数量比原来的两堆煤多：7084-2268=2832-2268=564（千克）。假设后，从甲堆取出的煤的分率是，这比甲堆煤的实际重量多；从乙堆取出的煤的分率是（全部取出）。因此564千克的对应分率是。甲堆煤的重量是：（千克）。甲堆煤的重量是：2268-940=1328（千克）。实战演练 课堂狙击1、有5元和10元的人民币共14张，共100元。问5元币和10元币各多少张？【解析】假设这14张全是5元的，则总钱数只有514=70元，比实际少了10070=30元。为什么会少了30元呢？因为这14张人币民币中有的是10元的。拿一张5元的换一张10元的，就会多出5元，30元里包含有6个5元，所以，要换6次，即有6张是10元的，有146=8张是5元的。2、五（1）班有51个同学，他们要搬51张课桌椅。规定男生每人搬2张，女生两人搬1张。这个班有男、女生各多少人？【解析】假设51个全是男生，能搬251=102张课桌椅，比实际搬的多出了10251=51张。用2个男生换成2个女生就少搬3张，513=17，因此这个班有217=34个女同学，有5134=17个男同学。3、用大、小两种汽车运货。每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱。现有18车货，价值3024元。若每箱便宜2元，则这批货价值2520元。大、小汽车各有多少辆？【解析】根据“若每箱便宜2元，则这批货价值2520元”可以知道，30242520=504元，504元中包含有252个2元，即这批货有252箱。假设18辆都是大汽车，则装货1818=324（箱），比实际箱数多324252=72箱。一辆大汽车换一辆小汽车可少运1812=6箱，72里面有12个6，所以，有12辆小汽车，有1812=6辆大汽车。4、甲、乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次倒扣6分。两人各投10次，共得152分。其中甲比乙多得16分，两人各中多少次？【解析】我们可以先算出每人各得多少分。甲得（15216）2=84分，则乙得15284=68分。甲投10次，假设10次都投中就该得1010=100分，而事实只得了84分，少得10084=16分，因为脱靶一次不仅得不到10分还要倒扣6分。因此甲共脱靶16（106）=1次，甲中了101=9次。再用同样的思路可以分析出乙中靶几次。5、买来5角、2角、1角5分三种邮票，共20张，总值5元5角。其中5角和1角5分的邮票张数相等，问三种邮票各购几张？【解析】因为5角和1角5分的邮票张数相等，所以一般假设20张邮票都是2角的，那么2020=400（角），比实际少了550400=150（角）；为什么会少？因为拿一张5角和一张1角5分换两张2角，会少50+15202=25分，所以15025=6（组）5角和1角5分的各6张，2角的邮票有2062=8（张）。6、蜘蛛有8只脚，蜻蜓有6只脚和两对翅膀，蝉有6只脚和一对翅膀，现在有这三种小虫18只，共有脚118只，翅膀20对，问每种小虫各有几只？【解析】先从脚的数量考虑，因为蜻蜓和蝉的脚数相等，所以假设18只都是6条腿，那么有186=108条腿，比实际少118-108=10条，每把一只8条腿的蜘蛛换成6条腿的昆虫就少8-6=2条腿，102=5只-是蜘蛛的数量。剩下的13只是蜻蜓和蝉，再从翅膀数量考虑，假设13只都是一对翅膀的蝉，那么翅膀就比实际少了20-13=7对，每把一只蜻蜓换成蝉，就少一对翅膀，所以蜻蜓有7只，蝉有6只。7、笼中共有30只鸡和兔，数一数足数正好是100只。问鸡兔各多少只？【解析】假设30只都是鸡，那么足数就少了100-2