第17讲 讲三角形内角和定理通过对本节课的学习，你能够：l 理解并掌握三角形内角和定理及证明.l 理解并掌握三角形内角和定理的推论，识别三角形的外角.l 能够利用三角形的内角和定理及两个推论进行计算及证明.概 述 概 述 适用学科初中数学适用年级初二适用区域北师版区域课时时长（分钟）120知识点三角形内角和定理三角形内角和定理的推论三角形内角和定理与推论与折叠、旋转、动态几何问题综合三角形内角和定理及推论的综合及探究题教学目标1.经历实践活动的过程,得出三角形的内角和定理,能用平行线的性质推出这一定理.2.能应用三角形的内角和定理解决一些简单的实际问题.3.帮助学生树立几何知识源于客观实际的观念,激发学生学习的兴趣.教学重点三角形的内角和定理.教学难点三角形的内角和定理推理的过程.【知识导图】教学过程 一、导入我们在小学就已经知道三角形的内角和等于180,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢?二、知识讲解考点1 生活中的立体图形考点1 三角形内角和定理及证明一、三角形内角和定理的证明回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的?1.在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码.2.让学生动手把一个三角形的两个角剪下来拼在第三个角的顶点处,用量角器量出BCD的度数,可得到A+B+ACB=180.3.剪下A,按右下图所示拼在一起,ABCM,从而可得到A+B+ACB=180.4.把2和3剪下按下图所示拼在一起,用量角器量一量MAN的度数,会得到什么结果?二、探索问题如果我们不用剪、拼办法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢?已知ABC,求证:A+B+C=180.证明:过点C作CEAB,并作线段BC的延长线CD,则A=ACE,B=DCE.又ACB+ACE+DCE=180,A+B+ACB=180.即:三角形的内角和等于180.考点2 三角形内角和定理的推论 在证明三角形内角和定理时，用到了把ABC的一边BC延长得到ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角， 结合图形指明外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上(2)一条边是三角形的一边(3)另一条边是三角形某条边的延长线 两个推论及其应用由学生探讨三角形外角的性质：问题1：如图，ABC中，A=70，B=60，ACD是ABC的一个外角，能由A、B求出ACD吗？如果能，ACD与A、B有什么关系？问题2：任意一个ABC的一个外角ACD与A、B的大小会有什么关系呢？由学生归纳得出：推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角例1、已知：BAF，CBD，ACE是ABC的三个外角求证：BAF+CBD+ACE=360分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证证明：(略)例2、已知：D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,A=62，ACD=35，ABE=20求：(1)BDC度数；(2)BFD度数解：(略)三 、例题精析类型一 三角形内角和定理一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形【解析】【总结与反思】类型二 三角形内角和定理的推论如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则1+2=_度。【解析】【总结与反思】类型三 三角形内角和定理与推论与折叠、旋转、动态几何问题综合如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若A=75，则1+2= 例题1【解析】【总结与反思】四 、课堂运用基础1.如图，在ABC中，B=67，C=33，AD是ABC的角平分线，则CAD的度数为（ ）A30 B35 C40 D502.如图，直线ab，一块含60角的直角三角板ABC(A60)按如图所示放置.若155，则2的度数为( ) A.105B.110C.115D.1203.如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则A与1，2之间的数量关系是（ ）A.A=1+2 B.A=21 C.2A=1+2 D.3A=2（1+2）巩固1.如图,点O是ABC的两条角平分线的交点,若BOC=118，则A的大小是_.2.如图，1120，A55，则ACB的大小是.3.如图,把ABC绕点C顺时针旋转25,得到ABC,AB交AC于点D,若ADC=90，则A=_.拔高1.如图,A点在B处的北偏东40方向,C点在B处的北偏东85方向,A点在C处的北偏西45方向，求BAC及BCA的度数。2.如图，点D在ABC边BC的延长线上，CE平分ACD，A80，B40，则ACE的大小是 3.如图,在ABC中,ACB=90,A=50，将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD，则EDB=_.五 、课堂小结六 、课后作业基础1.如图，RtABC中，ACB=90，DE过点C且平行于AB，若BCE=35，则A的度数为（）A.35 B.45C.55D.652.如图，ABCD，A=45，C=28，则AEC的大小为（ ）A.17 B.62 C.63 D.733.如图，在RtACB中，ACB=90，A=25，D是AB上一点将RtABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B处，则ADB等于 .巩固1.如图，将一块含有30角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果260，那么1的度数为（）A.60B.50C.40D.302.我们知道，三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和请利用这条定理解决下列问题：如图，1=2=3（1）试说明BAC=DEF（2）若BAC=70，DFE=50，求ABC的度数3.如图，BAP+APD=180，1=2，求证：E=F.拔高1如图,在ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,点F在BC的延长线上,DEBC,A=46,1=52，则2=_度。2.已知：在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D是AB的中点，点E是AB边上一点（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点 H，交CD的延长线于点M（如图），找出图中与BE相等的线段，并证明3.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题。探究1:如图1，在ABC中，O是ABC与ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现BOC=90+A，理由如下：BO和CO分别是ABC和ACB的角平分线1=ABC，2=ACB1+2=(ABC+ACB)又ABC+ACB=180A1+2=(180A)=90A，BOC=180(1+2)=180(90A)=90+A探究2:如图2中，O是ABC与外角ACD的平分线BO和CO的交点，试分析BOC与A有怎样的关系?请说明理由。探究3:如图3中，O是外角DBC与外角ECB的平分线BO和CO的交点，则BOC与A有怎样的关系?(只写结论,不需证明)结论：_.